事實上, 0.999…… = 1.
我開門見山, 是因為我有充分的準備. 請看:
1. 對于
"設 0.9999…… = X,
則 10X = 9.9999……,
所以 10X-X = 9,
所以 X=1,
于是 0.9999…… = 1"
實際上, 這個證明是數(shù)學界公認的正確證明. 為什么這么說呢? 它有沒有問題呢? 沒有. 我們可以確定它每一步的正確性: 把x乘以十, 結果正確嗎? 正確, 因為我們能確信它每一位都左移了. 減法(10x-x)正確嗎? 正確. 這個地方較難確認, 但是, 按照小數(shù)減法法則, 小數(shù)點后每一位對應相減, 沒有任何問題.
好, 看第2個證明:
0.3333…… = 1/3,
所以 0.33…… *3 = (1/3)*3,
即 0.999…… = 1.
這不是數(shù)學界公認的證明方法, 但大眾容易接受. 為什么不被公認呢? 它有值得懷疑的地方: 0.3333…… = 1/3, 就好像人們懷疑 0.999…… = 1 一樣. 您看:
0.9 < 1,
0.09 < 1,
0.009 < 1,
……
0.3 < 1/3,
0.03 < 1/3,
0.003 < 1/3,
……
所以嚴格的說這是不嚴謹?shù)? 如果有人在百度知道里質疑的不是 0.999…… = 1, 而是 0.3333…… = 1/3, 它還能用作憑據(jù)嗎? 故我們不作討論.
接下來論述最后一個證明. 就是樓主說的關于無窮大的證明. 這個對于 0.999…… < 1 的證明是錯誤的. 然而不管是認為 < 和 = 哪個才是正確的的人, 都會贊同以下觀點: 只要你有本事證出 1/10^無窮大=0, 我們就相信 0.999…… = 1; 只要你證出 1/10^無窮大>0, 我們就相信 0.999…… < 1.
為此, 我專門證明 1/10^無窮大=0.
證:
易知 1/10^無窮大不是負數(shù), 因此它大于或等于0.
若 1/10^無窮大>0, 設 1/10^無窮大 = n>0,
則 1/n= 10^無窮大,
但是對于正數(shù)n來說, 倒數(shù)是一個有限正數(shù),
所以 1/n 不等于 10^無窮大,
所以 1/10^無窮大=0.
證畢.
有些人要說了, 你這證明不對. n是無窮小! 倒數(shù)當然無窮大了!
那我再作另一個證明. 準確得說, 不是證明, 是論述.
請問: 無窮大*2=?
假定把無窮大看成數(shù), 則一個正"數(shù)", 要么有窮大, 要么無窮大. 如果問號處是有窮大, 顯然不對. 故問號處為無窮大.
怎么了? 哦, 無窮大*2=無窮大! 如果讓你解一個方程 2x=x, 你會解得 x=0, 而不是 x=無窮大 呀!
這是因為, 無窮大與有窮大是不同的, 在你解方程時, 可以將兩邊同減去x, 對于數(shù)x, 總有 x-x=0, 2x-x=x, 但這些在無窮大處失效了. 實際上, 在數(shù)學里, 有下列各式:
實數(shù)+無窮大=無窮大,
實數(shù)-無窮大=負無窮大,
正數(shù)*(正負)無窮大=(正負)無窮大,
負數(shù)*(正負)無窮大=(負正)無窮大,
實數(shù)/無窮大=實數(shù)/負無窮大=0,
無窮大-無窮大=無意義,
0*無窮大=無意義,
無窮大/無窮大=無意義.
以上各式, 有些是樓主必然認同的, 有些是我下面要證明的.
有人要說, 2*無窮大=無窮大, 但是此無窮大非彼無窮大, 等號左右的無窮大是不相等的. 注意, 無窮大是實數(shù)域的特征, 是一種屬性, 在數(shù)學的大分支分析學中是實數(shù)域的上界與最小上界, 我們有權利說它們相等不相等嗎?
的確, 我們歷經(jīng)滄桑, 見過那么多的實數(shù), 它們與同名稱的實數(shù)相等, 我們可以用物理方法測量, 得出它們相等. 但是對于眼前這個肥仔"無窮大", 你敢說嗎? 敢論證嗎? 無窮大是一種屬性,可以理解為參與運算的屬性. 我們說3=3, 可以認為是3與3參與運算的屬性相同. 不是嗎?把3和3分別扔到5+右邊, 結果都是8! 我說 無窮大=無窮大, 只是說屬性一致, 而要比較數(shù)值的話, 上帝也得累死.
言歸正傳. 易得 10^無窮大=無窮大,
1/無窮大*無窮大 等于1嗎? 好, 我們能得出
1/無窮大*無窮大 = 無窮大/無窮大.
由前面內容我們得出 1*無窮大 = 無窮大,
2*無窮大 = 無窮大,
3*無窮大 = 無窮大,
……
所以, 無窮大/無窮大=1,
無窮大/無窮大=2,
……
覺得熟悉嗎? 親切嗎? 研究 0/0 時的景象, 想起來了嗎?
1*0=0,
2*0=0,
3*0=0,
……
所以 0/0=1,
0/0=2,
0/0=3,
……
顯然, 以上兩個結論都是錯誤的. 無窮大/無窮大, 和0/0, 都是無意義的.
因此, 1/10^無窮大*10^無窮大=1 是錯誤的.
另外, 事實上 0*10^無窮大=0 也是錯誤的. 不過這就是要證的內容, 這里不作論述.
好, 我想以上內容沒有問題了. 接下來就接受反駁了.
反駁者1:
9.999…… 小數(shù)點后的9比 0.999…… 后的少一個.
答復:
這樣說是錯誤的. 的確, 看:
9小數(shù)點后的9比0.9少一個,
9.9小數(shù)點后的9比0.99少一個,
9.99小數(shù)點后的9比0.999少一個,
……
為什么呢? 對于9和0.9, 在0.9小數(shù)點后第1位的9不能在9小數(shù)點后第1位找到對應的9;
對于9.9和0.99, 在0.99小數(shù)點后第2位的9不能在9.9小數(shù)點后第2位找到對應的9, 盡管小數(shù)點后第1位的9能找到;
……
但是 0.999…… 和 9.999…… 不同. 對于 0.999…… 小數(shù)點后每一個9, 都能在 9.999…… 小數(shù)點后找到一個對應的9. 也就是說, 做減法時小數(shù)點后能完全消去.
反駁者2:
0.999…… 是趨向于1, 而不是等于1.
答復:
說這種話的人, 對極限的概念沒有理解正確. 他該抗議了: 我理解錯? 我清楚著呢! 中學里做極限題目, 我還全對呢! 你憑什么這么說?
我是有根據(jù)的. 現(xiàn)在中學生學極限, 覺得朦朦朧朧大概是那么回事, 嘿, 考試得滿分, 行了, 我理解了. 其實不然, 錯誤的理解不影響考試, 但影響研究.
下面這句話誰都沒有異議吧:
設"0."后面9的個數(shù)為n. 當 n→無窮大 時, 0.999…… →1.
正如反駁者本人所說, 趨向(→)和等于(=)是不同的. 那么, n→無窮大 和 n=無窮大 是不同的. n→無窮大, 表明n是自然數(shù), 它朝著某個方向向無窮大奮進, 但不是無窮大, 它是有窮大. 既然n是有窮大, 0.999…… 當然小于1了. 這"某個方向", 可以是筆在紙上寫9的方向, 也可以是時間的方向.
學過極限的人知道, "lim(x→a(寫在lim下面), y)=b" 與 "當x→a時, y→b" 是相同的. 憑什么說當 n→無窮大時, 0.999……9(n個9) =1-1/10^n→1 呢? 因為指數(shù)函數(shù)是連續(xù)的, 所以人們令n等于假想中的"數(shù)"無窮大, 得到1/10^n=0, 而這結論是人們在這之前證明的, 此時 1-1/10^n=1, 因此才有 "當 n→無窮大時, 0.999……9(n個9) =1-1/10^n→1", 因果關系是這樣的.
這反駁者, 我們在探討命題p的正確性, 歷史上人們根據(jù)命題p推出命題q, 他竟然試圖用q來證明p是錯誤的. 這只有在悖論中才行得通, 然而這里是沒有悖論的蹤跡的. 有這種想法是相當可笑的, 然而精神是可嘉的.
實際上, 注意, 當 0.999…… 后面9的個數(shù)"等于"(注意引號的強調!)無窮大時, 0.999…… 是"等于", 而非"趨向于"1的.
另外奉勸lx_yokumen, 您屢次說"感覺"(不一定是回答百度知道里的問題), 這個詞不是不準確的, 而是不正確的. 如果你做一道平面幾何題目, 看著圖覺得一個點是一條線段的中點, 這是感覺, 是沒有根據(jù)的. 而我們, 包括樓上幾位的論述, 是有根有據(jù)的, 即使是錯的, 那也是推理的疏漏, 或者是根據(jù)本身的問題. 您可以說這樣不可靠, 但不能說這是感覺.