已知二次函數(shù)y=x²+（m²+4）x-2m²-12.
（1）證明：無論m取何實(shí)數(shù),二次函數(shù)的圖像與x軸恒有倆個(gè)交點(diǎn),且一個(gè)交點(diǎn)
是（2,0）；【原題有錯(cuò)!不是(-2,0),應(yīng)是(2,0)】
（2）m為何值時(shí),倆交點(diǎn)之間的距離為12；
（3)m為何值是,倆交點(diǎn)之間的距離最小
(1)由于判別式△=[-(m²+4)]²-4(-2m²-12)=m⁴+16m²+64=(m+8)²>0對(duì)任何m都
成立,故其圖像與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn).且當(dāng)x=2時(shí),y(2)=4+2(m²+4)-2m²-12=0,故必有
一交點(diǎn)(2,0).
(2).設(shè)兩交點(diǎn)為A(x₁,0),B(2,0)
則│AB│=│x₁-2│=12,故x₁=14或-10.
當(dāng)x₁=14時(shí),y(14)=14²+14(m²+4)-2m²-12=12m²+240=0(無解,故m≠14)
當(dāng)x₁=-10時(shí),y(-10)=(-10)²-10(m²+4)-2m²-12=-12m²+48=0,m²=4,故得m=±2.
(3).│AB│=│x₁-2│=√[(x₁-2)²]=√[(x₁+2)²-8x₁](下面用韋達(dá)定理)
=√{[-(m²+4)]²-4(-2m²-12)}=√(m⁴+16m²+64)≥8,當(dāng)m=0時(shí)等號(hào)成立.
即當(dāng)m=0時(shí),兩交點(diǎn)間的距離最小,最小值為8.