第一類Chebyshev多項式Tn(x)的最重要的逼近性質(zhì)是：
在[-1,1]上所有首項系數(shù)為1的n次多項式中,Tn(x)/2^{n-1}對零的偏差最小,也就是說對于任何n次首一多項式p(x)都有max|p(x)| >= max|Tn(x)|/2^{n-1}.
這個性質(zhì)的證明要利用Chebyshev交錯點定理,應(yīng)該超出高中知識范圍了.這個性質(zhì)直觀的解釋是多項式“比較硬”,首項確定之后就不可能通過彎折它讓它很好地逼近零了.
作為應(yīng)用一般來講是解決min max|p(x)|型的最值問題,其中max的范圍是在閉區(qū)間[a,b]上,min的范圍是對所有滿足某一約束的不超過n次的多項式.通常先利用仿射變換把標準區(qū)間[-1,1]上的Chebyshev多項式變換到區(qū)間[a,b]上再利用最佳逼近性質(zhì).