為方便起見,本解中PA表示向量PA,|PA|表示線段的長
為了計算這道題目,我們先證明一個引理:
△ABC內(nèi)有一點P使得PA+PB+PC=0則S△PBC=S△PAB=S△PAC
用平行四邊形法則做出PB和PC的和向量PD,則有|AP|=|DP|,且A,P,D共線
由于四邊形BDCP是平行四邊形,所以,B,C到PD的距離相等,所以S△PAB=S△PAC(同底等高)
而|AP|=|PD|所以,S△ACP=S△PCD(等底同高)=S△PBC(都是四邊形面積的一半)
從而引起得證
讓我們回到這道題:
延長PB到X,使|BX|=|BP|
延長PC到Y(jié),使|CY|=2|PC|
連結(jié)AX,AY,XY,XC
那么在有P是三角形AXY中一點,且有PA+PX+PY=0
由引理知S△APX=S△APY=S△PXY(記作S)
由輔助線作法,有
S△APB=S△APX/2=S/2
S△APC=S△APY/3=S/3
S△PBC=S△CPX/2=(S△PXY/3)/2=S/6
所以,S△ABP:S△BCP:S△ACP=S/2:S/6:S/3=3:1:2