3x==1 mod 5
解一:乘2得
6x==2 mod 5
左邊 mod 5得
于是x==2 mod 5
解二:右邊加上5的倍數(shù),同余式成立,故
3x==6 再兩邊同時除以 與5互質(zhì)的數(shù)3,得 x==2
其中利用了同余式的性質(zhì)#1和#2 :
#1:與等式類似,乘以同一等價類的兩個數(shù),同余式成立.
#1' :與模的互質(zhì)的因子,及其等價類,在等式兩邊可以分別消去.
如 8x ==19 mod 15 ,可以一邊消去 4,一邊消去 19 而得到
2x ==1 mod 15.注意到,其中4與19均與15互質(zhì),并且二者對模15同余.
#2 :兩邊同時加上或減去模(除數(shù))的倍數(shù),即模0(余數(shù)為0的)等價類,同余式成立.
其實,由性質(zhì)#2,我們可以視 mod m符號為這樣一個滑動數(shù),可以在等式兩邊任意移動,不必考慮正負號,也不需考慮實際是多少,只需當作是代數(shù)和.
在這個意義上,mod m符號就代表著 余數(shù)為0的等價類本身,但是注意,它可任意移動.
此外,ax == b mod m
還可寫成分數(shù)形式:x==b /a mod m
由上面的性質(zhì),不難知道這個分數(shù)的可變性:
b/a == (kb+mx)/(ka+my) mod m ,其中 k與m互質(zhì)
此時可寫成 x==1/3 ==6/3 ==2
另外,我這種視 modm 為m的余數(shù)0的可滑動等價類 的觀點,用于解不定方程也極方便.
用這種觀點解不定方程的方便性,可參考我近日寫的博文.
3x==1 # [5] 注:這是+ 表示代數(shù)和,[M] 表示模M的任意倍數(shù),即m的余數(shù)0等價類.也可記為 ,我習(xí)慣寫為M上加一個圈,并省略代數(shù)和符號.
此題也可以用不定方程來解:
3x = 1 + 5 k
立即取k=1,x=2 mod 5.