（1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C,
∵A（0,2）,△AOB為等邊三角形,
∴AB=OB=2,∠BAO=60°,
∴BC=根3 ,OC=AC=1,
即B（根3,1 ）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí),不失一般性,
∵∠PAQ═∠OAB=60°,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO和△AQB中,
∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB
∴△APO≌△AQB總成立,
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立,
∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí),∠ABQ為定值90°；
（3）由（2）可知,點(diǎn)Q總在過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線(xiàn)上,可見(jiàn)AO與BQ不平行．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方,
此時(shí),若AB∥OQ,四邊形AOQB即是梯形,
當(dāng)AB∥OQ時(shí),∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2,可求得BQ=根3 ,
由（2）可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=根3 ,
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（-根3,0 ）．
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí),點(diǎn)Q在B的上方,
此時(shí),若AQ∥OB,四邊形AOQB即是梯形,
當(dāng)AQ∥OB時(shí),∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2,可求得BQ=2根3 ,
由（2）可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=2根3 ,
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（2根3,0 ）．
綜上,P的坐標(biāo)為（-根3,0 ）或（2根3,0 ）．