任取數(shù)域P上任意兩個(gè)n維線性空間V1,V2.
取V1上的一組基a1,a2,···,an；取V2上的一組基b1,b2,···,bn.
則任意向量a屬于V1有a=k1a1 + k2a2 + ··· +knan；
構(gòu)造映射f:V1--->V2,f(a) = k1b1 + k2b2 + ··· +knbn.那么就有f(ai) = bi (i = 1,2,···,n)
下證f是雙射：
先證f是單射,
設(shè)存在b,b'屬于V2,使得f(a) = b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn ,
f(a) = b' = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn ,
則由b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn = b'
移項(xiàng)整理得(s1-t1)b1 + (s2-t2)b2 + ··· +(sn-tn)bn = 0,
由于b1,b2,···,bn是一組基,必有si=ti (i = 1,2,···,n)
從而b=b',
歸結(jié)為一句話“任意向量a屬于V1,V2中有且僅有一個(gè)向量b使得f(a) = b”
因此f是單射
再證f是滿射,
取任意向量b屬于V2并設(shè)b=s1b1 + s2b2 + ··· +snbn,
顯然存在a屬于V1,且a=s1a1 + s2a2 + ··· +snan,使得 b=f(a) = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn,
歸結(jié)為一句話“任意向量b屬于V2,在V1中都存在一個(gè)向量a使得f(a) = b”
因此f是滿射
由得,f是雙射,下證f是同構(gòu)映射,
任意T屬于數(shù)域P,Ta=Tk1a1 + Tk2a2 + ··· +Tknan,
于是 f(Ta) = Tk1b1 + Tk2b2 + ··· +Tknbn = T(k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) = Tf(a)
另外,任意向量a‘=s1a1 + s2a2 + ··· +snan 屬于V1,
顯然f(a+a’) = (k1+s1)b1 + (k2+s2)b2 + ··· +(kn+sn)bn
= (k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) + (s1b1 + s2b2 + ··· +snbn)
= f(a) + f(a')
因此 f是同構(gòu)映射.
綜上可知,數(shù)域P上任意兩個(gè)n維線性空間V1,V2之間都存在同構(gòu)映射
再由線性空間同構(gòu)的定義“若兩線性空間之間存在同構(gòu)映射,則這倆個(gè)線性空間同構(gòu)”,
所以數(shù)域P上任意兩個(gè)n維線性空間都同構(gòu)!
證畢!