基礎解系是對齊次線性方程組而言的, 題目應該為:
若a1,a2,a3為Ax=0的基礎解系,則a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基礎解系
證明一個向量組是基礎解系需證:
1. 都是解
2. 線性無關
3. 向量個數(shù)達到基礎解系所含向量個數(shù), 即 n-r(A)
3'. 任一解向量可由它線性表示
1.由于齊次線性方程組的解的線性組合仍是解, 所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1都是Ax=0的解
2.由 (a1+a2,a2+a3,a3+a1) = (a1,a2,a3)B
B =
101
110
011
|B| = 2, 所以B可逆
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1與a1,a2,a3等價
所以 r(a1+a2,a2+a3,a3+a1) = r(a1,a2,a3)=3
故 a1+a2,a2+a3,a3+a1線性無關, 且任一解向量可由它線性表示.
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基礎解系.
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