- 由投票者2008-08-20 14:22:01選出
已知圓滿足①截Y軸所得弦長(zhǎng)為2 ②被X軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為3 ：1 ③圓心到直線L：X-2Y=0的距離為√5/5,求圓的方程
設(shè)圓的方程為（x-a)²+(y-b)²=R².(1)
圓心M（a,b)到直線x-2y=0的距離為√5/5,故有等式：
｜a-2b｜/√5=√5/5,故
a-2b=-1.(2)
或a-2b=1.(3)
設(shè)圓與Y軸的交點(diǎn)為（0,y1)和(0,y2),將x=0代入（1）式,得：
y²-2by+a²+b²-R²=0
因“圓截Y軸所得弦長(zhǎng)為2”,即｜y1-y2｜=2.按韋達(dá)定理,有等式：
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2
=4b²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-a²)=4
于是得：R²-a²=1.(4)
又“被X軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為3 ：1”,設(shè)劣弧S1所對(duì)的圓心
角為θ1,優(yōu)弧S2所對(duì)的圓心角為θ2,則
S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1,故θ1=90˚,θ2=270˚.
設(shè)圓弧與X軸相交于A,B兩點(diǎn),則△AMB是等腰直角三角形,因此弦
長(zhǎng)｜AB｜=｜X1-X2｜=（√2)R.
令（1）式中的y=0,便得：
x²-2ax+a²+b²-R²=0
于是由韋達(dá)定理有：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-b²)=2R²
即R²-2b²=0.(5)
由（2）（4）（5）聯(lián)立解得：a=1,b=1,R²=2.
此時(shí)圓的方程為：（x-1)²+(y-1)²=2
由（3）（4）（5）聯(lián)立解得：a=-1,b=-1,R²=2.
此時(shí)圓的方程為：(x+1)²+(y+1)²=2