先求導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)之后就能用等比級(jí)數(shù)展開,在用逐項(xiàng)積分求出原函數(shù)的級(jí)數(shù).
arctan[(4+x^2)/(4-x^2)] '
=1/{1+[(4+x^2)/(4-x^2)]^2} * [(4+x^2)/(4-x^2)] '
最后化簡(jiǎn)得到
=16x / (2x^4+32)
(請(qǐng)幫忙檢查一下有沒有算對(duì),我只寫思路,不敢保證運(yùn)算)
上下同時(shí)除以32
=(x/2) / [1+(x^4)/16]
這是一個(gè)首項(xiàng)是x/2,公比是-(x^4)/16的等比級(jí)數(shù),所以
=(x/2) * {1 - (x^4)/16 + [(x^4)/16]^2 - [(x^4)/16]^3 +...}
= x/2 - (x/2)^5 + (x/2)^9 - (x/2)^13 + ...
=∑(n=0,∞) [(-1)^n] * [(x/2)^(1+4n)]
在對(duì)這個(gè)式子積分
原式的級(jí)數(shù)展開式就是：
=∑(n=0,∞) [(-1)^n] * [1/(1+2n)] * [(x/2)^(2+4n)]