1、定義
平面內(nèi),到一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡(或集合)稱之為拋物線.另外,F稱為"拋物線的焦點",l稱為"拋物線的準線".
定義焦點到拋物線的準線的距離為"焦準距",用p表示.p>0.
以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€圓錐,可得一個圓,如果傾斜這個平面直至與其一邊平行,就可以做一條拋物線.
2.拋物線的標準方程
右開口拋物線:y^2=2px
左開口拋物線:y^2=-2px
上開口拋物線:y=x^2/2p
下開口拋物線:y=-x^2/2p
3.拋物線相關(guān)參數(shù)(對于向右開口的拋物線)
離心率:e=1
焦點:(p/2,0)
準線方程l:x=-p/2
頂點:(0,0)
4.它的解析式求法：
三點代入法
5.拋物線的光學(xué)性質(zhì):
經(jīng)過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對稱軸.
6、其他
拋物線：y = ax* + bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0時開口向上
a < 0時開口向下
c = 0時拋物線經(jīng)過原點
b = 0時拋物線對稱軸為y軸
還有頂點式y(tǒng) = a（x-h）* + k
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
h是頂點坐標的x
k是頂點坐標的y
一般用于求最大值與最小值
拋物線標準方程:y^2=2px
它表示拋物線的焦點在x的正半軸上,焦點坐標為(p/2,0) 準線方程為x=-p/2
由于拋物線的焦點可在任意半軸,故共有標準方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
7.用拋物線的對稱性解題
我們知道,拋物線y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是軸對稱圖形,它的對稱軸是直線x = - b/ 2a ,它的頂點在對稱軸上.解決有關(guān)拋物線的問題時,若能巧用拋物線的對稱性,則?？梢越o出簡捷的解法.
例1 已知拋物線的對稱軸是x =1,拋物線與y軸交于點（0,3）,與x軸兩交點間的距離為4,求此拋物線的解析式.
分析 設(shè)拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c .若按常規(guī)解法,則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,變形過程比較繁雜；若巧用拋物線的對稱性,解法就簡捷了.因為拋物線的對稱軸為x =1,與x軸兩交點間的距離為4,由拋物線的對稱性可知,它與x軸交于A（-1,0）、B（3,0）兩點.于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a（x+1）（x-3）.又因為拋物線與y軸交于點（0,3）,所以3 = -3a.故a =-1.
∴y = -（x+1）（x-3）,即
y = - x2 + 2x +3.
例2 已知拋物線經(jīng)過A（-1,2）、B（3,2）兩點,其頂點的縱坐標為6,求當x =0時y的值.
分析 要求當x =0時y的值,只要求出拋物線的解析式即可.
由拋物線的對稱性可知,A（-1,2）、B（3,2）兩點是拋物線上的對稱點.由此可知,拋物線的對稱軸是x = 1.故拋物線的頂點是（1,6）.于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a（x-1）2+ 6.因為點（-1,2）在拋物線上,所以4a + 6 = 2.故a = -1.
∴y = -（x-1）2+ 6,即
y = - x2 + 2x +5.
∴當x =0時,y = 5.
例3 已知拋物線與x軸兩交點A、B間的距離為4,與y軸交于點C,其頂點為（-1,4）,求△ABC的面積.
分析 要求△ABC的面積,只要求出點C的坐標即可.為此,需求出拋物線的解析式.由題設(shè)可知,拋物線的對稱軸是x = -1.由拋物線的對稱性可知,A、B兩點的坐標分別為（-3,0）、（1,0）.故可設(shè)拋物線的解析式為y = a（x+1）2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）].
∵點（1,0）在拋物線上,
∴4a + 4 = 0.∴a = -1.
∴y = -（x+1）2+ 4,即
y = - x2 - 2x +3.
∴點C的坐標為（0,3）.
∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6.
例4 已知拋物線y = ax2 + bx + c的頂點A的縱坐標是4,與y軸交于點B,與x軸交于C、D兩點,且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的兩個根,求四邊形ABCD的面積.
分析 要求四邊形ABCD的面積,求出A、B兩點的坐標即可.為此,要求出拋物線的解析式.由題設(shè)可知,C、D兩點的坐標分別為（-1,0）、（3,0）.由拋物線的對稱性可知,拋物線的對稱軸是x = 1.故頂點A的坐標是（1,4）.從而可設(shè)拋物線的解析式為y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）].
∵點（-1,0）在拋物線上,
∴4a + 4 = 0.故a = -1.
∴y = -（x-1）2+ 4,即
y = - x2 + 2x +3.
∴點B的坐標為（0,3）.
連結(jié)OA ,則S四邊形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9