一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學學習的重點,也是一個難點.主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實際問題中找出相等關(guān)系,列出相應(yīng)的方程；二是對數(shù)量關(guān)系稍復雜的方程,常常理不清楚基本量,也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系,導致解題時無從下手.

事實上,方程就是一個含未知數(shù)的等式.列方程解應(yīng)用題,就是要將實際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來.而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義,它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系.由此,解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量,找出相等關(guān)系”.

下面就一元一次方程中常見的幾類應(yīng)用題作逐一講評,供同學們學習時參考.

1.行程問題

行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度.關(guān)系式為：①路程=速度×時間；②速度=；③時間=.

可尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系.在不同的問題中,相等關(guān)系是靈活多變的.如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系,而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關(guān)系,在航行問題中很多時候還用速度作相等關(guān)系.

航行問題是行程問題中的一種特殊情況,其速度在不同的條件下會發(fā)生變化：①順水（風）速度=靜水（無風）速度+水流速度（風速）；②逆水（風）速度=靜水（無風）速度－水流速度（風速）.由此可得到航行問題中一個重要等量關(guān)系：順水（風）速度－水流速度（風速）＝逆水（風）速度+水流速度（風速）＝靜水（無風）速度.

例1．某隊伍450米長,以每分鐘90米速度前進,某人從排尾到排頭取東西后,立即返回排尾,速度為3米/秒.問往返共需多少時間?

講評：這一問題實際上分為兩個過程：①從排尾到排頭的過程是一個追及過程,相當于最后一個人追上最前面的人；②從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程,相當于從排頭走到與排尾的人相遇.

在追及過程中,設(shè)追及的時間為x秒,隊伍行進（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒,則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒,則追及者行駛的路程為3x米.由追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程－被追者的路程=原來相隔的路程”,有：

3x－1.5x=450∴x=300

在相遇過程中,設(shè)相遇的時間為y秒,隊伍和返回的人速度未變,故排尾人行駛的路程為1.5y米,返回者行駛的路程為3y米,由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有：3y+1.5y=450∴y=100

故往返共需的時間為x+y=300+100=400（秒）

例2 汽車從A地到B地,若每小時行駛40km,就要晚到半小時：若每小時行駛45km,就可以早到半小時.求A、B 兩地的距離.

講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題,我們通常都稱其為“先后問題”.在這類問題中主要考慮時間量,考察兩者的時間關(guān)系,從相隔的時間上找出相等關(guān)系.本題中,設(shè)A、B兩地的路程為x km,速度為40 km/小時,則時間為小時；速度為45 km/小時,則時間為小時,又早到與晚到之間相隔1小時,故有

－ = 1 ∴　x = 360

　　例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛,順流航行需6小時,逆流航行需8小時,已知水流速度每小時2 km.求甲、乙兩地之間的距離.

講評：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為x km,則順流速度為km/小時,逆流速度為km/小時,由航行問題中的重要等量關(guān)系有：

－2=+2∴ x = 96

　　2.工程問題

工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間.關(guān)系式為：①工作量=工作效率×工作時間.②工作時間=,③工作效率=.

工程問題中,一般常將全部工作量看作整體1,如果完成全部工作的時間為t,則工作效率為.常見的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系,部分工作量之和=總工作量.②如果以時間作相等關(guān)系,完成同一工作的時間差=多用的時間.

在工程問題中,還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量,這時不能看作整體1,此時工作效率也即工作速度.

例4． 加工某種工件,甲單獨作要20天完成,乙只要10就能完成任務(wù),現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù).問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)?

講評：將全部任務(wù)的工作量看作整體1,由甲、乙單獨完成的時間可知,甲的工作效率為,乙的工作效率為,設(shè)乙需工作x 天,則甲再繼續(xù)加工（12－x）天,乙完成的工作量為,甲完成的工作量為,依題意有+=1 ∴x =8

例5． 收割一塊麥地,每小時割4畝,預計若干小時割完.收割了后,改用新式農(nóng)具收割,工作效率提高到原來的1.5倍.因此比預計時間提前1小時完工.求這塊麥地有多少畝?

講評：設(shè)麥地有x畝,即總工作量為x畝,改用新式工具前工作效率為4畝/小時,割完x畝預計時間為小時,收割畝工作時間為/4=小時；改用新式工具后,工作效率為1.5×4=6畝/小時,割完剩下畝時間為/6=小時,則實際用的時間為（+）小時,依題意“比預計時間提前1小時完工”有

－（+）=1 ∴ x =36

例6. 一水池裝有甲、乙、丙三個水管,加、乙是進水管,丙是排水管,甲單獨開需10小時注滿一池水,乙單獨開需6小時注滿一池水,丙單獨開15小時放完一池水.現(xiàn)在三管齊開,需多少時間注滿水池?

講評：由題設(shè)可知,甲、乙、丙工作效率分別為、、－（進水管工作效率看作正數(shù),排水管效率則記為負數(shù)）,設(shè)x小時可注滿水池,則甲、乙、丙的工作量分別為,、－,由三水管完成整體工作量1,有+－＝1 ∴　x = 5

　　3．經(jīng)濟問題

與生活、生產(chǎn)實際相關(guān)的經(jīng)濟類應(yīng)用題,是近年中考數(shù)學創(chuàng)新題中的一個突出類型.經(jīng)濟類問題主要體現(xiàn)為三大類：①銷售利潤問題、②優(yōu)惠（促銷）問題、③存貸問題.這三類問題的基本量各不相同,在尋找相等關(guān)系時,一定要聯(lián)系實際生活情景去思考,才能更好地理解問題的本質(zhì),正確列出方程.

⑴銷售利潤問題.利潤問題中有四個基本量：成本（進價）、銷售價（收入）、利潤、利潤率.基本關(guān)系式有：①利潤=銷售價（收入）－成本（進價）【成本（進價）=銷售價（收入）－利潤】；②利潤率=【利潤=成本（進價）×利潤率】.在有折扣的銷售問題中,實際銷售價=標價×折扣率.打折問題中常以進價不變作相等關(guān)系.

⑵優(yōu)惠（促銷）問題.日常生活中有很多促銷活動,不同的購物（消費）方式可以得到不同的優(yōu)惠.這類問題中,一般從“什么情況下效果一樣分析起”.并以求得的數(shù)值為基準,取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進行檢驗,預測其變化趨勢.

⑶存貸問題.存貸問題與日常生活密切相關(guān),也是中考命題時最好選取的問題情景之一.存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量,還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量.其關(guān)系式有：①利息=本金×利率×期數(shù)；②利息稅=利息×稅率；③本息和（本利）=本金+利息－利息稅.

例7.某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件,后來又到深圳以每件12.5元的價格購進同樣商品40件.如果商店銷售這種商品時,要獲利12％,那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少?

講評：設(shè)銷售價每件x 元,銷售收入則為（10+40）x元,而成本（進價）為（5×10+40×12.5）,利潤率為12％,利潤為（5×10+40×12.5）×12％.由關(guān)系式①有

（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％∴x=14.56

例8.某種商品因換季準備打折出售,如果按定價七五折出售,則賠25元,而按定價的九折出售將賺20元.問這種商品的定價是多少?

講評：設(shè)定價為x元,七五折售價為75％x,利潤為－25元,進價則為75％x－（－25）=75％x+25；九折銷售售價為90％x,利潤為20元,進價為90％x－20.由進價一定,有

75％x+25=90％x－20 ∴ x = 300

例9. 李勇同學假期打工收入了一筆工資,他立即存入銀行,存期為半年.整存整取,年利息為2.16％.取款時扣除20％利息稅.李勇同學共得到本利504.32元.問半年前李勇同學共存入多少元?

講評：本題中要求的未知數(shù)是本金.設(shè)存入的本金為x元,由年利率為2.16％,期數(shù)為0.5年,則利息為0.5×2.16％x,利息稅為20％×0.5×2.16％x,由存貸問題中關(guān)系式③有x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32 ∴ x = 500

例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡,花200元買這種卡后,憑卡可在這家商店8折購物,什么情況下買卡購物合算?

講評：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”.設(shè)購物x元買卡與不買卡效果一樣,買卡花費金額為（200+80％x）元,不買卡花費金額為x元,故有

200+80％x = x ∴x = 1000

當x ＞1000時,如x=2000買卡消費的花費為：200+80％×2000=1800（元）

不買卡花費為：2000（元 ）此時買卡購物合算.

當x ＜1000時,如x=800 買卡消費的花費為：200+80％×800=840（元）

不買卡花費為：800（元） 此時買卡不合算.



4.溶液（混合物）問題

溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）.其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；②濃度=×100％=×100％【純度（含量）=×100％=×100％】；③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度×溶液=濃度×（溶質(zhì)+溶劑）.在溶液問題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”,混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量,是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系.

例11.把1000克濃度為80％的酒精配成濃度為60％的酒精,某同學未經(jīng)考慮先加了300克水.⑴試通過計算說明該同學加水是否過量?⑵如果加水不過量,則應(yīng)加入濃度為20％的酒精多少克?如果加水過量,則需再加入濃度為95％的酒精多少克?

講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液,將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液,將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況.在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個關(guān)鍵量,并結(jié)合有關(guān)公式進行分析,就不難找到相等關(guān)系,從而列出方程.

本題中,⑴加水前,原溶液1000克,濃度為80％,溶質(zhì)（純酒精）為1000×80％克；設(shè)加x克水后,濃度為60％,此時溶液變?yōu)椋?000+x）克,則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x）×60％克.由加水前后溶質(zhì)未變,有（1000+x）×60％=1000×80％

∴x = ＞300 ∴該同學加水未過量.

⑵設(shè)應(yīng)加入濃度為20％的酒精y克,此時總?cè)芤簽椋?000+300+y）克,濃度為60％,溶質(zhì)（純酒精）為（1000+300+y）×60％；原兩種溶液的濃度分別為1000×80％、20％y,由混合前后溶質(zhì)量不變,有（1000+300+y）×60％=1000×80％+20％ ∴ y=50

5.數(shù)字問題

數(shù)字問題是常見的數(shù)學問題.一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù),要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=∑（數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán)）,如兩位數(shù)=10a+b；三位數(shù)=100a+10b+c.在求解數(shù)字問題時要注意整體設(shè)元思想的運用.

例12. 一個三位數(shù),三個數(shù)位上的和是17,百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7,個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍.求這個數(shù).

講評：設(shè)這個數(shù)十位上的數(shù)字為x,則個位上的數(shù)字為3x,百位上的數(shù)字為（x+7）,這個三位數(shù)則為100（x+7）+10x+3x.依題意有（x+7）+x+3x=17∴x=2

∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926

例13. 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1,如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊,那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍,求原數(shù).

講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后,后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位,即每個數(shù)位上的數(shù)字被擴大10倍,可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù).設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x,則原數(shù)為10+x,移動后的數(shù)為10x+1,依題意有10x+1=10+x

∴x = 42857 則原數(shù)為142857

　　6.調(diào)配（分配）與比例問題

調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見,比如合理安排工人生產(chǎn),按比例選取工程材料,調(diào)劑人數(shù)或貨物等.調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系.在調(diào)配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系,或是量與量之間的比例關(guān)系.

例14.甲、乙兩書架各有若干本書,如果從乙架拿100本放到甲架上,那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍,如果從甲架上拿100本書放到乙架上,兩架所有書相等.問原來每架上各有多少書?

講評：本題難點是正確設(shè)未知數(shù),并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來.在調(diào)配問題中,調(diào)配后數(shù)量相等,即將原來多的一方多出的數(shù)量進行平分.由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架,兩架書相等”,可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本.故設(shè)乙架原有x本書,則甲架原有（x+200）本書.從乙架拿100本放到甲架上,乙架剩下的書為（x－100）本,甲架書變?yōu)椋▁+200）+100本.又甲架的書比乙架多5倍,即是乙架的六倍,有（x+200）+100=6（x－100） ∴x=180 x+200=380

例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個.已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇,共有這樣的拉線5條,求室內(nèi)燈管有多少個?

講評：這是一道對開關(guān)拉線的分配問題.設(shè)燈管有x支,則吊扇有（13－x）個,燈管拉線為條,吊扇拉線為條,依題意“共有5條拉線”,有+＝5∴x=9

例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲.每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個或螺母200個,一個螺絲要配兩個螺母,應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲,多少名工人生產(chǎn)螺母,才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套?

講評：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問題,要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系,并依此作相等關(guān)系列出方程.本題中,設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母,生產(chǎn)螺母的個數(shù)為200x個,則有（22－x）人生產(chǎn)螺絲,生產(chǎn)螺絲的個數(shù)為120（22－x）個.由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍”,有 200x=2×120（22－x）

∴x=12 22－x=10

例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成.現(xiàn)已將前三種料稱好,公5600千克,應(yīng)加多少千克的水攪拌?前三種料各稱了多少千克?

講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù),并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進行求解.本題中,由四種坯料比例25∶2∶1∶6,設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克,由前三種坯料共5600千克,有25x+2x+x=5600

∴　x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200

例18. 蘋果若干個分給小朋友,每人m個余14個,每人9個,則最后一人得6個.問小朋友有幾人?

講評：這是一個分配問題.設(shè)小朋友x人,每人分m個蘋果余14個,蘋果總數(shù)為mx+14,每人9個蘋果最后一人6個,則蘋果總數(shù)為9（x－1）+6.蘋果總數(shù)不變,有　　　　　　

mx+14＝9（x－1）+6　∴x＝　∵x、m均為整數(shù) ∴9－m＝1　x＝17

例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材,7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等,現(xiàn)有288噸砂糖,把這些砂糖出口,可換回多少噸鋼材?

講評：本題可轉(zhuǎn)換成一個比例問題.由豬肉∶鋼材=1∶5,豬肉∶砂糖=7∶4,得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4,設(shè)可換回鋼材x噸,則有x∶288=35∶4∴x=2620

7.需設(shè)中間（間接）未知數(shù)求解的問題

一些應(yīng)用題中,設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解,而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù),卻較容易列出方程,再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果.

例20.甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是43,甲數(shù)的2倍加8,乙數(shù)的3倍,丙數(shù)的4倍,丁數(shù)的5倍減去4,得到的4個數(shù)卻相等.求甲、乙、丙、丁四個數(shù).

講評：本題中要求4個量,在后面可用方程組求解.若用一元一次方程求解,如果設(shè)某個數(shù)為未知數(shù),其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩.這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等,故設(shè)這個相等的數(shù)為x,則甲數(shù)為,乙數(shù)為,丙數(shù)為,丁數(shù)為,由四個數(shù)的和是43,有+++=43∴x = 36

∴=14=12=9=8

　　例21.某縣中學足球聯(lián)賽共賽10輪（即每隊均需比賽10場）,其中勝1場得3分,平1場得1分,負1場得0分.向明中學足球隊在這次聯(lián)賽中所負場數(shù)比平場數(shù)少3場,結(jié)果公得19分.向明中學在這次聯(lián)賽中勝了多少場?
講評：本題中若直接將勝的場次設(shè)為未知數(shù),無法用未知數(shù)的式子表示出負的場數(shù)和平的場數(shù),但設(shè)平或負的場數(shù),則可表示出勝的場數(shù).故設(shè)平x場,則負x－3場,勝10－（x+x－3）場,依題意有 3[10－（x+x－3）]+x=19∴x=4∴ 10－（x+x－3）=5
8.設(shè)而不求（設(shè)中間參數(shù)）的問題
一些應(yīng)用題中,所給出的已知條件不夠滿足基本量關(guān)系式的需要,而且其中某些量不需要求解.這時,我們可以通過設(shè)出這個量,并將其看成已知條件,然后在計算中消去.這將有利于我們對問題本質(zhì)的理解.
例22.一艘輪船從重慶到上海要5晝夜,從上海駛向重慶要7晝夜,問從重慶放竹牌到上海要幾晝夜?（竹排的速度為水的流速）
分析：航行問題要抓住路程、速度、時間三個基本量,一般有兩種已知量才能求出第三種未知量.本題中已知時間量,所求也是時間量,故需在路程和速度兩個量中設(shè)一個中間參數(shù)才能列出方程.本題中考慮到路程量不變,故設(shè)兩地路程為a公里,則順水速度為,逆水速度為,設(shè)水流速度為x,有－x＝+x　∴x＝,又設(shè)竹排從重慶到上海的時間為y晝夜,有 ·x=a ∴x=35
例23. 某校兩名教師帶若干名學生去旅游,聯(lián)系兩家標價相同的旅行社,經(jīng)洽談后,甲旅行社的優(yōu)惠條件是：1名教師全部收費,其余7．5折收費；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：全部師生8折優(yōu)惠.
⑴當學生人數(shù)等于多少人時,甲旅行社與乙旅行社收費價格一樣?
⑵若核算結(jié)果,甲旅行社的優(yōu)惠價相對乙旅行社的優(yōu)惠價要便宜,問學生人數(shù)是多少?
　　講評：在本題中兩家旅行社的標價和學生人數(shù)都是未知量,又都是列方程時不可少的基本量,但標價不需求解.⑴中設(shè)標價為a元,學生人數(shù)x人,甲旅行社的收費為a+0.75a（x+1）元,乙旅行社收費為0.8a（x+2）元,有a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2）∴ x=3
⑵中設(shè)學生人數(shù)為y人,甲旅行社收費為a+0.75a（x+1）元,乙旅行社收費為0.8a（x+2）元,有0.8a（x+2）－［a+0.75a（x+1）］＝×0.8a（x+2）　∴x=8.
其實只要能讀懂題,知道題目告訴你一些什么,要求什么,他們之間有什么關(guān)系,把等量關(guān)系找出來就可以啦,具體的書上有例題你先自己分析,再看他的分析.就行了.
望采納（求求你了,我做任務(wù)!）