對于BC上任意一點(diǎn)R來說,△PQR的周長中,PQ的長度始終沒變,因此問題等價(jià)于在BC上求一點(diǎn)R,使PR＋QR最小,這和那個課本上的建造自來水廠的問題一模一樣.
作點(diǎn)P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P',連結(jié)P'Q交BC于點(diǎn)R,則R是使△POQ周長最小的點(diǎn).
設(shè)D是BC上異于R的任意一點(diǎn)
∵P、P'關(guān)于BC對稱
∴PR＝P'R,PD＝P'D
在△P'QD中,QD＋P'D＞P'Q＝P'R＋QR
∴QD＋PD＞PR＋QR
∴PQ＋QD＋PD＞PQ＋PR＋QR
也就是,對于BC上異于R的任意一點(diǎn)D,都有△PQD的周長大于△PQR的周長
這說明△PQR的周長最小