劉徽開創(chuàng)了探索圓周率的精確方法,另一位中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的主要成就,也恰恰在于圓周率的計(jì)算方面.據(jù)《隋書·律歷志》記載,祖沖之確定了圓周率的不足近似值為3．1415926,剩余近似值為3．1415927,這是世界上首次將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位.直到16世紀(jì),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西才打破了這一紀(jì)錄.祖沖之實(shí)際上還給出了圓周率的誤差范圍.
祖沖之還和他的兒子祖暅一起,用巧妙的方法解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題.《九章算術(shù)》中認(rèn)為,外切圓柱體與球體積比等于正方形與其內(nèi)切圓面積之比,劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)指出,原書的說(shuō)法是不正確的,只有“牟合方蓋”（垂直相交的兩個(gè)圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比,才正好等于正方形與其內(nèi)切圓的面積之比.但劉徽沒有求出兩圓柱體垂直相交部分的體積公式,也就得不出球體積公式.祖沖之父子應(yīng)用“等高處橫截面積常相等的兩個(gè)立體,其體積也必然相等”這一原理,求出了牟合方蓋的體積.而球體體積等于π／4乘以牟合方蓋體積,從而最終算出球體積為πD3／6（D為球直徑）,這個(gè)公式就是著名的“祖暅公理”.西方人得到這一公理時(shí),距祖沖之父子已1000余年.祖沖之還研究過(guò)“開差冪”和“開差立”問(wèn)題,這涉及到了二次、三次方程求根的問(wèn)題,祖沖之在求解中甚至“兼以正負(fù)參之”,可見其研究水平之高.
祖沖之父子的數(shù)學(xué)研究成就匯集于他的數(shù)學(xué)專著《綴術(shù)》中.這本書極其高深,以至于“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W,故廢而不理”.在唐朝官學(xué)中,《綴術(shù)》也被列為必讀的十部算經(jīng)之一,且需學(xué)習(xí)4年,年限為各經(jīng)之首.后來(lái),《綴術(shù)》傳至朝鮮,但10世紀(jì)以后,《綴術(shù)》漸漸在各國(guó)失傳了.盡管今天已無(wú)從知道《綴術(shù)》的具體內(nèi)容,但從該書在唐代官學(xué)中的學(xué)習(xí)年限及史書中相關(guān)的零星記載,我們?nèi)钥梢韵胍娖鋵W(xué)術(shù)價(jià)值.