如果A是實對稱矩陣就好做了,這樣可以通過不同特征值對應的特征向量正交求出另外兩個特征向量（一定可以求出兩個,因為A是實對稱矩陣）.但這里有個問題,求出的這兩個特征向量怎么對應A的兩個特征值呢（有兩種情況）,由于缺乏條件不能斷定.然而本題的特殊性就在于,這兩個特征向量剛好對應B的二重特征值,這就解決了對應的問題.因此a1即是對應λ=1,A的特征向量,又是對應λ=-2,B的特征向量.而另外兩個特征向量是A對應特征值±2的特征向量,也是B對應二重特征值為1的兩個特征向量.
補充：Bα=(λ^5-4*λ＋1)α式子中 特征值為(λ^5-4*λ＋1),對應的特征向量為a；而Aα=λα式子中特征值為λ,對應的特征向量為a.兩式的特征向量一樣,但對應的特征值不一樣.
對問題補充的回答：你想的很好.結論的確是我說的那樣,書上也是那么說的,如果與答案不符合,要想過答案是否有誤.你也可以帶著這樣的問題請教你們老師.
再次補充：你解出兩個不正因為交的特征向量（a2,a3）是因為你默認另外兩個特征值相等了.正確的做法是從解出的兩個特征向量里再選一個（a2）,加上之前那個特征向量（a1）與第三個特征向量y(再假設第三個特征值的特征向量為y)都正交,這才解出第三個特征值的特征向量.我估計通過這樣解出的另外兩個特征向量（a2,y）等于直接把第一次解出的兩個特征向量（a2,a3）正交化.
這樣只需把那兩個向量正交化一下就可以了
矩陣的特征值與特征向量問題
矩陣的特征值與特征向量問題
這是一個考研題,答案一定沒錯.但我不理解.3階矩陣A的特征值為λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=（1,-1,1）T是A的對應特征值1的特征向量,B=A^5-4*A^3+E.后來要求求B的特征向量,當時直接利用Aαi=λiαi帶入B式,后來得B特征值一個是ˉ2另兩個都是1,但是若對應特征值1（2重根）的特征向量是有兩個解系組合,這樣就與原始帶入的對應A的只有一個解系的特征向量就不一樣了.但帶入的時候明明就有Bα=(λ^5-4*λ＋1)α,不應該這式子中的就是特征向量么?為什么呢?
呵呵,你回答的太好的.你說的很正確,A是是對稱陣,當時用手機發(fā)布的疑問,把這一點遺漏了.但是我有一個問題就是,如果“Bα=(λ^5-4*λ＋1)α式子中 特征值為(λ^5-4*λ＋1),對應的特征向量為a；而Aα=λα式子中特征值為λ,對應的特征向量為a.兩式的特征向量一樣,但對應的特征值不一樣.”既然a一樣,那樣的話而“另外兩個特征向量是A對應特征值±2的特征向量,也是B對應二重特征值為1的兩個特征向量.”的意思就是A另外兩個特征向量對應B的二重根的特征向量的兩個解系,而給出的答案中B的這個對應的是β2=a2=(1,0,-1)t,β3=a3=(1,1,0),當然這里的β指的是特征向量的解系.但是這兩個雖然符合B的重根不相關卻不符合A的不同特征值之間的正交性了.是我那兒想錯了,還是……
這是一個考研題,答案一定沒錯.但我不理解.3階矩陣A的特征值為λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=（1,-1,1）T是A的對應特征值1的特征向量,B=A^5-4*A^3+E.后來要求求B的特征向量,當時直接利用Aαi=λiαi帶入B式,后來得B特征值一個是ˉ2另兩個都是1,但是若對應特征值1（2重根）的特征向量是有兩個解系組合,這樣就與原始帶入的對應A的只有一個解系的特征向量就不一樣了.但帶入的時候明明就有Bα=(λ^5-4*λ＋1)α,不應該這式子中的就是特征向量么?為什么呢?
呵呵,你回答的太好的.你說的很正確,A是是對稱陣,當時用手機發(fā)布的疑問,把這一點遺漏了.但是我有一個問題就是,如果“Bα=(λ^5-4*λ＋1)α式子中 特征值為(λ^5-4*λ＋1),對應的特征向量為a；而Aα=λα式子中特征值為λ,對應的特征向量為a.兩式的特征向量一樣,但對應的特征值不一樣.”既然a一樣,那樣的話而“另外兩個特征向量是A對應特征值±2的特征向量,也是B對應二重特征值為1的兩個特征向量.”的意思就是A另外兩個特征向量對應B的二重根的特征向量的兩個解系,而給出的答案中B的這個對應的是β2=a2=(1,0,-1)t,β3=a3=(1,1,0),當然這里的β指的是特征向量的解系.但是這兩個雖然符合B的重根不相關卻不符合A的不同特征值之間的正交性了.是我那兒想錯了,還是……
數(shù)學人氣：372 ℃時間：2019-10-19 07:04:25
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