單 位 符 號(hào)
坐標(biāo)：m(x,y,z)力：NF(f)
時(shí)間：st(T)質(zhì)量:kgm(M)
位移：mr動(dòng)量:kg*m/sp(P)
速度：m/sv(u)能量:JE
加速度：m/s^2a沖量：N*sI
長(zhǎng)度：ml(L)動(dòng)能：JEk
路程：ms(S)勢(shì)能：JEp
角速度：rad/sω力矩：N*mM
角加速度:rad/s^2α功率：WP
一：
牛頓力學(xué)（預(yù)備知識(shí)）
(一)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
(注：兩式中左式為微分形式,右式為積分形式)
當(dāng)v不變時(shí),(1)表示勻速直線運(yùn)動(dòng).
當(dāng)a不變時(shí),(2)表示勻變速直線運(yùn)動(dòng).
只要知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),它的一切運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可知了.
(二)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)：
(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運(yùn)動(dòng).
(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質(zhì)量成反比.
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上.
(4)萬(wàn)有引力：兩質(zhì)點(diǎn)間作用力與質(zhì)量乘積成正比,與距離平方成反比.
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
動(dòng)量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動(dòng)量的變化)
動(dòng)量守恒：合外力為零時(shí),系統(tǒng)動(dòng)量保持不變.
動(dòng)能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動(dòng)能的變化)
機(jī)械能守恒：只有重力做功時(shí),Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛頓力學(xué)的核心是牛二：F=ma,它是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的橋梁,我們的目的是知道物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,即求解運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),若知受力情況,根據(jù)牛二可得a,再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求之.同樣,若知運(yùn)動(dòng)方程r=r(t),可根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求a,再由牛二可知物體的受力情況.)
二：
狹義相對(duì)論力學(xué)：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u為慣性系速度.)
(一)基本原理：(1)相對(duì)性原理：所有慣性系都是等價(jià)的.
(2)光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑偈桥c慣性系無(wú)關(guān)的常數(shù).
(此處先給出公式再給出證明)
(二)洛侖茲坐標(biāo)變換：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度變換：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
(四)尺縮效應(yīng)：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)鐘慢效應(yīng)：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效應(yīng)：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源與探測(cè)器在一條直線上運(yùn)動(dòng).)
(七)動(dòng)量表達(dá)式：P=Mv=γmv,即M=γm.
(八)相對(duì)論力學(xué)基本方程：F=dP/dt
(九)質(zhì)能方程：E=Mc^2
(十)能量動(dòng)量關(guān)系：E^2=(E0)^2+P^2c^2
(注：在此用兩種方法證明,一種在三維空間內(nèi)進(jìn)行,一種在四維時(shí)空中證明,實(shí)際上他們是等價(jià)的.)
三：
三維證明：
(一)由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的公理,無(wú)法證明.
(二)洛侖茲變換：
設(shè)(x,y,z,t)所在坐標(biāo)系(A系)靜止,(X,Y,Z,T)所在坐標(biāo)系(B系)速度為u,且沿x軸正向.在A系原點(diǎn)處,x=0,B系中A原點(diǎn)的坐標(biāo)為X=-uT,即X+uT=0.可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內(nèi)的各點(diǎn)位置是等價(jià)的,因此k是與u有關(guān)的常數(shù)(廣義相對(duì)論中,由于時(shí)空彎曲,各點(diǎn)不再等價(jià),因此k不再是常數(shù).)同理,B系中的原點(diǎn)處有X=K(x-ut),由相對(duì)性原理知,兩個(gè)慣性系等價(jià),除速度反向外,兩式應(yīng)取相同的形式,即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對(duì)于y,z,Y,Z皆與速度無(wú)關(guān),可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對(duì)性原理,要確定k需用光速不變?cè)?當(dāng)兩系的原點(diǎn)重合時(shí),由重合點(diǎn)發(fā)出一光信號(hào),則對(duì)兩系分別有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標(biāo)變換：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度變換：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表達(dá)式.
(四)尺縮效應(yīng)：
B系中有一與x軸平行長(zhǎng)l的細(xì)桿,則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時(shí)測(cè)量?jī)啥说淖鴺?biāo)),則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)鐘慢效應(yīng)：
由坐標(biāo)變換的逆變換可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地測(cè)量),故△t=γ△T.
(注：與坐標(biāo)系相對(duì)靜止的物體的長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間間隔稱固有長(zhǎng)度、靜止質(zhì)量和固有時(shí),是不隨坐標(biāo)變換而變的客觀量.)
(六)光的多普勒效應(yīng)：(注：聲音的多普勒效應(yīng)是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原點(diǎn)處一光源發(fā)出光信號(hào),A系原點(diǎn)有一探測(cè)器,兩系中分別有兩個(gè)鐘,當(dāng)兩系原點(diǎn)重合時(shí),校準(zhǔn)時(shí)鐘開始計(jì)時(shí).B系中光源頻率為ν(b),波數(shù)為N,B系的鐘測(cè)得的時(shí)間是△t(b),由鐘慢效應(yīng)可知,A△系中的鐘測(cè)得的時(shí)間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測(cè)器開始接收時(shí)刻為t1+x/c,最終時(shí)刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對(duì)運(yùn)動(dòng)不影響光信號(hào)的波數(shù),故光源發(fā)出的波數(shù)與探測(cè)器接收的波數(shù)相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
(七)動(dòng)量表達(dá)式:(注：dt=γdτ,此時(shí),γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因?yàn)閷?duì)于動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)可選自身為參考系,β=v/c)
牛二在伽利略變換下,保持形勢(shì)不變,即無(wú)論在那個(gè)慣性系內(nèi),牛二都成立,但在洛倫茲變換下,原本簡(jiǎn)潔的形式變得亂七八糟,因此有必要對(duì)牛頓定律進(jìn)行修正,要求是在坐標(biāo)變換下仍保持原有的簡(jiǎn)潔形式.
牛頓力學(xué)中,v=dr/dt,r在坐標(biāo)變換下形式不變,（舊坐標(biāo)系中為（x,y,z）新坐標(biāo)系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個(gè)不變量（當(dāng)然非固有時(shí)dτ莫屬）就可以修正速度的概念了.即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對(duì)論速度.牛頓動(dòng)量為p=mv,將v替換為V,可修正動(dòng)量,即p=mV=γmv.定義M=γm(相對(duì)論質(zhì)量)則p=Mv.這就是相對(duì)論力學(xué)的基本量：相對(duì)論動(dòng)量.（注：我們一般不用相對(duì)論速度而是用牛頓速度來(lái)參與計(jì)算）
(八)相對(duì)論力學(xué)基本方程：
由相對(duì)論動(dòng)量表達(dá)式可知：F=dp/dt,這是力的定義式,雖與牛二的形式完全一樣,但內(nèi)涵不一樣.（相對(duì)論中質(zhì)量是變量）
(九)質(zhì)能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
(十)能量動(dòng)量關(guān)系：
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四：
四維證明：
(一)公理,無(wú)法證明.
(二)坐標(biāo)變換：由光速不變?cè)恚篸l=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內(nèi)都成立.定義dS為四維間隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).則對(duì)光信號(hào)dS恒等于0,而對(duì)于任意兩時(shí)空點(diǎn)的dS一般不為0.dS^2〉0稱類空間隔,dS^2