錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法,應用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn為等差數(shù)列,Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn,再把所有式子同時乘以等比數(shù)列的公比,即kSn；然后錯一位,兩式相減即可.
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簡介
舉例
錯位相減法解題
編輯本段簡介
　　錯位相減較常用在數(shù)列的通項表現(xiàn)為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解為等差數(shù)列,2^(n-1)部分可以理解為等比數(shù)列.
編輯本段舉例
　　例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0） 　　當x=1時,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2； 　　當x不等于1時,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； 　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n； 　　兩式相減得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n； 　　化簡得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
編輯本段錯位相減法解題
　　錯位相減法是求和的一種解題方法.在題目的類型中：一般是a前面的系數(shù)和a的指數(shù)是相等的情況下才可以用.　　這是例子（格式問題,在a后面的數(shù)字和n都是指數(shù)形式）：　　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1） 　　在（1）的左右兩邊同時乘上a.得到等式（2）如下：　　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2） 　　用（1）—（2）,得到等式（3）如下：　?。?-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3） 　?。?-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　　S=a+a2+a3+……+an-1+an用這個的求和公式.　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　　最后在等式兩邊同時除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了.　　例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0） 當x=1時,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 　　當x不等于1時,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方 　　所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方 　　所以兩式相減的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.　　化簡得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方 　　Cn=(2n+1)*2^n 　　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 　　2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 　　兩式相減得 　　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) 　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) 　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比數(shù)列求和) 　　=(1-2n)*2^(n+1)-2 　　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 　　錯位相減法 　　這個在求等比數(shù)列求和公式時就用了 　　Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 　　兩邊同時乘以1/2 　　1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,這樣寫看的更清楚些） 　　兩式相減 　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) 　　Sn=1-1/2^n