n階行列式D=/Aij/的任意一列（行）各元素與另一列（行）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.如何證明

數(shù)學(xué)人氣：884 ℃時間：2019-09-29 01:13:47

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)該行列式為D,不妨設(shè)題目中指出的兩行分別是第i行和第j行,則D按照第j行展開式為：
|a11 ... a1n|
|...|
|ai1 ... ain|
D=|...|=aj1Aj1+...+ajnAjn
|aji ... ajn|
|...|
|an1 ... ann|
若換成另一行元素相乘得ai1Aj1+...ainAjn=|a11 ... a1n|
|...|
|ai1 ... ain|
|...|
|ai1 ... ain|
|...|
|an1 ... ann|（這是由題意得到的）
顯然,aj1...ajn一行被ai1...ain替換才可寫成那形式,即aji=ai1,..ajn=ain.這樣,行列式中就有兩行是相同的了,所以行列式值為0