【分析】書上的證明是沒錯的.書上是用了行列式的以下兩個性質
①存在完全相同的兩行（列）的行列式值為零；
②行列式中某元素aij的余子式的值,與該元素aij的數值無關.（這點是理解此題的關鍵）
設原行列式 An =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
aj1 aj2 …… ajn ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann
于是,書上構造了一個新的行列式 Bn.Bn是將原行列式An的第 j 行元素用第 i 行元素替換得來的.（An與Bn是兩個數值完全不相等的行列式,要搞清楚!）
即,Bn =
a11 a12 …… a1n
a21 a22 …… a2n
a31 a32 …… a3n
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）
…………………………
ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 j 行）
…………………………
an1 an2 …… ann
由于An與Bn除了第 j 行元素外,其余所有數字都對應相等,
所以便有,An 與 Bn分別按第 j 行元素展開的余子式對應相等,即Bjk=Ajk （k=1,2,……,n）
（**注：理解好這一步是理解全題的關鍵）
所以Bn按第 j 行展開,得
Bn=ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn
而∵Bn存在兩行完全相同的元素,
∴Bn = 0
即,ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0 （證畢）