1)∵∠ABC=60度∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP^2=PA×PC=12
∴PB=2√3
(2)在銳角三角形ABC外側(cè)作等邊三角形ACB'連接BB',CB'
因?yàn)槭卿J角三角形,即可在BB'上選取一點(diǎn)P,使得∠APB=120度
則∠APB'=60度,又∠ACB'=60度
所以A,P,C,B'四點(diǎn)共圓
所以∠CPB'=∠CAB'=60度
綜上,∠APC=∠BPC=120度,可知P為費(fèi)馬點(diǎn)
再證BB'=PA+PB+PC
延長(zhǎng)PC并截取CE=AP,連接EB'
因?yàn)閮?nèi)接的關(guān)系,易知∠PAB'+∠PCB'=180度,∠PAB'=∠ECB'
易證△PAB'≌△ECB',又∵∠B'EP=∠B'PE=60度
∴PB'=EB'=PE=PC+CE=PC+PA
得證BB'=PA+PB+PC