1.(x+y)[(1/x)+(a/y)]=1+a+ax/y+y/x,利用均值不等式
1+a+ax/y+y/x>=1+a+2根號(a),等號當ax/y=y/x時成立,要使得不等式(x+y)[(1/x)+(a/y)]≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則1+a+2根號(a)>=9,由于1+a+2根號(a)對正實數(shù)a是遞增的,故要求正實數(shù)a的最小值即滿足1+a+2根號(a)=9,可解得a=4
2.由lgx+lgy=lgxy=1知：xy=10,利用均值不等式有：
5/x+2/y>=2根號（10/xy）=2,等號當5/x=2/y即2x=5y是成立
3.利用均值不等式
a^2/x+x(a+b)^2>=2*根號(a^2/x*x(a+b)^2)=2a(a+b).等號當x=a/(a+b)時成立
b^2/(1-x)+(1-x)(a+b)^2>=2b(a+b).等號當1-x=b/(a+b)時成立
所以兩式相加得a^2/x+b^2/(1-x)+(a+b)^2>=2(a+b)^2
即y>=(a+b)^2
當x=a/(a+b)時等號成立
4.利用均值不等式
1=a+(1-a)>=2根號[a（1-a）],即a（1-a）=4,等號當
1/a=1/（1-a）即a=1/2時取到