(i)首先先求出齊次方程通解,由6y''+9y'+5y=0可知特征根方程為6λ²+9λ+5=0
求得λ=-3/4±√39i/12
所以齊次方程通解為y(x)=C1e^[(-3/4+√39i/12)x]+C2e^[(-3/4-√39i/12)x]
變成實(shí)數(shù)表達(dá)形式為y(x)=e^(-3x/4)[C1cos(√39x/12)+C2sin(√39x/12)] (C1、C2為任意實(shí)數(shù))
(ii)然后求非齊次特解
定義微分算子D（即求導(dǎo)運(yùn)算）：d/dx=D,1/D=∫,本題里記L(D)=6D²+9D+5.設(shè)特解為y*
則有(6D²+9D+5)y*=1/2+[cos(2x)]/2
所以,y*=1/(6D²+9D+5) {1/2+[cos(2x)]/2}=1/(6D²+9D+5) {1/2}+1/(6D²+9D+5) {cos(2x)]/2}
下面分別計(jì)算兩部分然后相加即可.
第一部分1/(6D²+9D+5)由Taylor展開有
1/(6D²+9D+5) {1/2}=(1/5-9D/25+o(D)) {1/2}=1/10
第二部分cos(2x)是e^(2ix)的實(shí)部,利用公式若L(D)≠0,則1/L(D) e^(kx)=e^(kx)/F(k)
考察(6D²+9D+5)y*=e^(2ix)
y*=1/(6D²+9D+5) {e^(2ix)}=e^(2ix)/[6*(2i)²+9*(2i)+5]=e^(2ix)/(-19+18i)=(-19-18i)(cos(2x)+isin(2x))/685=[-19cos(2x)+18sin(2x)]/685-[18cos(2x)+19sin(2x)]i/685
因?yàn)樵绞菍?shí)部,所以求出來的特解也對(duì)應(yīng)其實(shí)部[-19cos(2x)+18sin(2x)]/685
所以,特解是y*=[-19cos(2x)+18sin(2x)]/685*(1/2)+1/10=[-19cos(2x)+18sin(2x)]/1370+1/10
綜合上述,原方程的解為y(x)=e^(-3x/4)[C1cos(√39x/12)+C2sin(√39x/12)]+[-19cos(2x)+18sin(2x)]/1370+1/10