（1）可設(shè)y=a（x-4）²-1，（2分）
∵交y軸于點(diǎn)C（0，3），
∴3=16a-1，（3分）
∴a=

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

（x-4）²-1，
即∴y=

1

4

x²-2x+3．（4分）
（2）存在．（5分）
當(dāng)y=0，則

1

4

（x-4）²-1=0，
∴x₁=2，x₂=6，（6分）
∴A（2，0），B（6，0），
設(shè)P（0，m），則OP=|m|在△AOC與△BOP中，
①若∠OCA=∠OBP，則△BOP∽△COA，
∴

OB

OC

=

OP

OA

，OP=

6×2

3

=4，
∴m=±4；（7分）
②若∠OCA=∠OPB，則△BOP∽△AOC，
∴

OP

OC

=

OB

OA

，OP=

6×3

2

=9，
∴m=±9，（7分）
∴存在符合題意的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）．（10分）