兩句都不對(duì).
①取行向量A = (1,0),列向量B = (0,1)'.
則A行滿秩,B列滿秩,但AB = 0,r(AB) < 1不滿秩.
②直接取A,B都是滿秩方陣,此時(shí)AB也滿秩.
如果將②改為:A不是行滿秩的,且B不是列滿秩的,那么可以證明AB不滿秩.
因?yàn)閞(AB) ≤ r(A) < A的行數(shù) = AB的行數(shù),且r(AB) ≤ r(B) < B的列數(shù) = AB的列數(shù),
即AB既不是行滿秩的也不是列滿秩的.限制在實(shí)矩陣的范圍內(nèi)是對(duì)的,
復(fù)矩陣有反例如A = (1,i), AA' = 0 (即便是方陣也不行).
對(duì)實(shí)矩陣實(shí)際上有更一般的結(jié)論: r(AA') = r(A).
當(dāng)A行滿秩, 可得r(AA') = r(A) = A的行數(shù) = AA'的階數(shù).

以下討論限制在實(shí)數(shù)范圍.
因?yàn)閞(A) = r(A'), 設(shè)B = A', 只需證明r(B'B) = r(B).
(這個(gè)轉(zhuǎn)化意義不大, 只是寫起來順手一點(diǎn)).
考慮兩個(gè)線性方程組: BX = 0①與B'BX = 0②.
顯然, ①的解總是②的解.
而若X是②的解, 有(BX)'BX = X'B'BX = 0.
由此可得BX = 0, 即X也是①的解.
于是①與②同解, 解空間維數(shù)相同.
即n-r(B) = n-r(B'B), 也即r(B) = r(B'B).