這里用到的是如下結(jié)論:
若多項(xiàng)式f(x)滿足f(A) = 0,則A的特征值都是f(x) = 0的根.
取一個(gè)特征向量就能證明.
這里沒說f(x)是特征多項(xiàng)式,也沒說f(x) = 0的所有根都是A的特征值.如果f(x) = 0的所有根并不都是A的特征值.那上面解答A的特征值都是1.就是錯(cuò)的？這個(gè)邏輯是這樣的.若λ是A的特征值, 則λ是f(x) = 0的解, 又可證λ是實(shí)數(shù).但f(x) = 0的實(shí)根只有1, 所以λ只能是1.我的意思是fx=0的實(shí)根可能不只有1啊?。?！題目的條件確定不了題目里的f(x) = x^3-2x^2+4x-3.可分解為(x-1)(x^2-x+3).x^2-x+3沒有實(shí)根, 所以f(x)的實(shí)根確實(shí)只有1.如果把題目改成f(x) = (x+1)(x^3-2x^2+4x-3).那么由f(A) = 0不能推出實(shí)對稱陣A是正定的, A = -E就是反例.