本題能稱為一道重量級題目.
（1） 求拋物線的解析式：
∵ 直線y = x + 2 與 y 軸 交于點(diǎn)A
∴ 把 x = 0 代入y = x + 2,得：y = 2
∴ 點(diǎn)A 坐標(biāo)為：A（0,2）.則OA = 2.
∵ 點(diǎn)C 在 x 軸上、且 AC = 2√2,
∴ 在Rt△AOC 中,由勾股定理得：
OC方 = AC方 -- OA方
= (2√2)方 -- 2方
= 4
∴ 點(diǎn)C 坐標(biāo)為：C（-- 2,0） 或 C（2,0）.
設(shè)拋物線地解析式為：y = ax方 + bx + c ,
∵ 拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn),而點(diǎn)C坐標(biāo)為（-- 2,0） 或 C（2,0）,
∴ 需分兩種情形討論：
1、 當(dāng)拋物線經(jīng)過A（0,2）和 C（-- 2,0）時,
把這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y = ax方 + bx + c ,得：
2 = c --------------------------- ①
0 = 4a -- 2b + c --------------- ②
∵ 拋物線與 x 軸 只有一個交點(diǎn),
∴ 一元二次方程ax方 + bx + c = 0 的根的判別式為 0 ,
即：△ = b方 -- 4ac = 0 ---------- ③
解①②③組成的方程組,得：
a = 1/2 ,b = 2,c = 2.
∴ 此時 拋物線地解析式為：y = (1/2)x方 + 2x + 2 .
（此時B、C 兩點(diǎn)重合,B 在 點(diǎn)A 的左側(cè)）
2、 當(dāng)拋物線經(jīng)過A（0,2）和 C（2,0）時,
把這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y = ax方 + bx + c ,得：
2 = c --------------------------- ①
0 = 4a + 2b + c --------------- ②
∵ 拋物線與 x 軸 只有一個交點(diǎn)C（2,0）,
∴ 拋物線的對稱軸為 x = 2,
即：-- b / (2a) = 2 ------------------- ③
解①②③組成的方程組,得：
a = 1/2 ,b = -- 2,c = 2.
∴ 此時 拋物線地解析式為：y = (1/2)x方 -- 2x + 2 .
（此時B、C 兩點(diǎn)不重合,B 在 點(diǎn)A 的右側(cè)）
（注意體會 方程③的 兩種不同來歷）
綜上,滿足題意的拋物線解析式有兩個：
y = (1/2)x方 + 2x + 2 或 y = (1/2)x方 -- 2x + 2 .
求拋物線的解析式還有另外思路：
∵ 拋物線與 x 軸只有一個交點(diǎn)
∴ 該題中的拋物線 可看作是 y = ax方 經(jīng)左右平移得到的.
∴ 可設(shè)拋物線解析式為：y = a(x + k)方
再代入它所經(jīng)過的兩個點(diǎn)的坐標(biāo) 即可求出 a 和 k 這兩個未知數(shù).
（2）若點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)
由第（1）問 知：
此時 拋物線地解析式只能為：y = (1/2)x方 -- 2x + 2 .
先求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo).
凡求 交點(diǎn)坐標(biāo),大多需聯(lián)立方程組.
由方程組 y = x + 2
y = (1/2)x方 -- 2x + 2
解得：x1 = 0 ,x2 = 6 .
即：拋物線 與 直線 的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0,B的橫坐標(biāo)為6 .
∵ 點(diǎn)P 在直線y = x + 2 上、PQ ⊥ x 軸 ,
∴ 點(diǎn)P、Q 的橫坐標(biāo)均為 x .
把 x 代入y = x + 2 ,求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（x + 2）；
把 x 代入 y = (1/2)x方 -- 2x + 2 ,求得
點(diǎn)Q 的縱坐標(biāo)為：[ (1/2)x方 -- 2x + 2 ]
∴ PQ 的長 m = （x + 2）-- [ (1/2)x方 -- 2x + 2 ]
= -- (1/2)x方 + 3x
∴ m與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：m = -- (1/2)x方 + 3x
自變量x的取值范圍為：0 ＜ x ＜ 6 .
（3） 在線段AB上存在一點(diǎn)P,
能使以（2）中的線段PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A ,
滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（2,4）.理由如下：
由 “ 以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A ” 知：
∠PAQ = 90°（直徑所對的圓周角為90°）
在 Rt△PAQ 中,PQ 為斜邊,
過點(diǎn)A 作 AH ⊥ PQ 于 點(diǎn)H ,
則 AH 的長 等于點(diǎn)P（或點(diǎn)Q） 的橫坐標(biāo) x .
∴ 點(diǎn)H 的橫坐標(biāo)為 x ,縱坐標(biāo)為 2 ,
PH = 點(diǎn)P縱坐標(biāo) -- 點(diǎn)H縱坐標(biāo)
= ( x + 2 ) -- 2
= x
QH = 點(diǎn)H縱坐標(biāo) -- 點(diǎn)Q縱坐標(biāo)
= 2 -- [ (1/2)x方 -- 2x + 2 ]
= -- (1/2)x方 + 2x
易證得 Rt△PAH ∽ Rt△AQH
∴ AH方 = PH × QH
∴ x 方 = x [ -- (1/2)x方 + 2x ]
∵ x ＞ 0 ,兩邊同除以 x ,解得：
x = -- (1/2)x方 + 2x
∴ (1/2)x方 -- x = 0
∴ x = 0 或 x = 2 .
∴ 點(diǎn)P 的橫坐標(biāo) 為 2 ,
∴ 滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（2,4）.