過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線,則三垂足共線.（此線常稱為西姆松線） 西姆松定理的逆定理 若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上.相關(guān)的結(jié)果有：（1）稱三角形的垂心為H.西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn),且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上.（2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角.（3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同,這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角,跟P的位置無(wú)關(guān).（4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上.
[編輯本段]證明
證明一：△ABC外接圓上有點(diǎn)P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分別連DE、DF.易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓,于是∠FDP=∠ACP ①,（∵都是∠ABP的補(bǔ)角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共線.反之,當(dāng)F、D、E共線時(shí),由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.證明二：如圖,若L、M、N三點(diǎn)共線,連結(jié)BP,CP,則因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓,有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓.若A、B、P、C四點(diǎn)共圓,則∠PBN = ∠PCM.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓,有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三點(diǎn)共線.
[編輯本段]相關(guān)性質(zhì)的證明
連AH延長(zhǎng)線交圓于G,連PG交西姆松線與R,BC于Q 如圖連其他相關(guān)線段 AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2A.G.C.P共圓==>∠2=∠3 PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圓==>∠3=∠4 ==>∠1=∠4 PF⊥BC ==>PR=RQ BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圓==>∠6=∠7 ==>∠5=∠7 AG⊥BC==>BC垂直平分GH ==>∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH 第二個(gè)問(wèn),平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上,如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心,重心和垂心.則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心,而G還是它的重心.那么三角形XYZ的外心 O1,也在同一直線上,并且 HG/GO=GO/GO1=2,所以O(shè)1是OH的中點(diǎn).三角形ABC和三角形XYZ位似,那么它們的外接圓也位似.兩個(gè)圓的圓心都在OH上,并且兩圓半徑比為1:2 所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的"反"位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是"正"位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊)...所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上.