1、先求f(x).
f(x-4)=f(2-x)
a(x-4)^2+b(x-4)=a(2-x)^2+b(2-x)
化簡(jiǎn)得(b-2a)x=3b-6a.
因?yàn)樯鲜綄?duì)于任意x均成立,所以b-2a=0,即b=2a.
因?yàn)閒(x)與y=x相切(只有一個(gè)交點(diǎn)),且f(x)與y=x均過(guò)原點(diǎn),所以原點(diǎn)就是切點(diǎn).
f'(x)=2ax+b=2ax+2a.切點(diǎn)的斜率為1,所以1=2a 0 +2a,即a=1/2.
所以f(x)=1/2 x^2+x.
2、f(x-t)≤x
1/2(x-t)^2+(x-t)≤x
化簡(jiǎn)得x^2-2tx+t^2-2t≤0
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)x屬于[4,m]時(shí),f(x-t)≤x.
所以4,m是方程x^2-2tx+t^2-2t=0的兩根.
把4代入,得t^2-10t+16=0,解得t=2,t=8.
t=2時(shí),把m代入,得m^2-4m=0,解得m=0(舍去),m=4.所以t=2,m=4.
t=8時(shí),把m代入,得m^2-16m+48=0,解得m=4,m=12.
(m=4對(duì)于f(x-t)≤x也成立,但區(qū)間變成了一個(gè)點(diǎn),所以不知道m(xù)=4該不該舍去.)