一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d＝0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型.
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據(jù)一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式.我歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應(yīng)該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和.歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方里面的內(nèi)容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化簡得
（6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關(guān)于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8）,可令A(yù)＝y(tǒng)1,B＝y(tǒng)2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y(tǒng)1,B＝y(tǒng)2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后記：一、(14)只是一元三方程的一個實根解,按韋達定理一元三次方程應(yīng)該有三個根,不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了.由于計算太復(fù)雜及這個問題歷史上已經(jīng)解決,我不愿花過多的力氣在上面,我做這項工作只是想考驗自己的智力,所以只要關(guān)鍵的問題解決了另兩個根我就沒有花力氣去求解.
二、我也曾用類似的方法去求解過一元四次方程的解,具體就是假設(shè)一元四次方程的根的形式為x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出過,不過后來多次求解好象說明這種方法求解一元四次方程解不出.不過我認為如果能進一步歸納出A、B、C的形式,應(yīng)該能求出一元四次方程的求根公式的.由于計算實在太復(fù)雜及這個問題古人已經(jīng)解決了,我后來一直沒能完成這項工作.
三、通過求解一元三次方程的求根公式,我獲得了一個經(jīng)驗,用演繹法（就是直接推理）求解不出來的問題,換一個思維,用歸納法（及通過對簡單和特殊的同類問題的解法的歸納類比）常常能取得很好的效果.事實上人類常常是這樣解決問題的,大科學(xué)家正是這樣才成為大科學(xué)家的.