加油~~
CHEER YOU UP~~
一、理解二次函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì) .
二次函數(shù) y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 , a 、 b 、 c 是常數(shù)）中含有兩個變量 x 、 y ,我們只要先確定其中一個變量,就可利用解析式求出另一個變量,即得到一組解；而一組解就是一個點的坐標,實際上二次函數(shù)的圖象就是由無數(shù)個這樣的點構成的圖形 .
二、熟悉幾個特殊型二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) .
1 、通過描點,觀察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 圖象的形狀及位置,熟悉各自圖象的基本特征,反之根據(jù)拋物線的特征能迅速確定它是哪一種解析式 .
2 、理解圖象的平移口訣“加上減下,加左減右” .
y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上減下”是針對 k 而言的,“加左減右”是針對 h 而言的 .
總之,如果兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同,則它們的拋物線形狀相同,由于頂點坐標不同,所以位置不同,而拋物線的平移實質(zhì)上是頂點的平移,如果拋物線是一般形式,應先化為頂點式再平移 .
3 、通過描點畫圖、圖象平移,理解并明確解析式的特征與圖象的特征是完全相對應的,我們在解題時要做到胸中有圖,看到函數(shù)就能在頭腦中反映出它的圖象的基本特征；
4 、在熟悉函數(shù)圖象的基礎上,通過觀察、分析拋物線的特征,來理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)；利用圖象來判別二次函數(shù)的系數(shù) a 、 b 、 c 、△以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號等問題 .
三、要充分利用拋物線“頂點”的作用 .
1 、要能準確靈活地求出“頂點” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →頂點（－ h,k ）,對于其它形式的二次函數(shù),我們可化為頂點式而求出頂點 .
2 、理解頂點、對稱軸、函數(shù)最值三者的關系 . 若頂點為（－ h , k ）,則對稱軸為 x= － h , y 最大（?。?=k ；反之,若對稱軸為 x=m , y 最值 =n ,則頂點為（ m , n ）；理解它們之間的關系,在分析、解決問題時,可達到舉一反三的效果 .
3 、利用頂點畫草圖 . 在大多數(shù)情況下,我們只需要畫出草圖能幫助我們分析、解決問題就行了,這時可根據(jù)拋物線頂點,結合開口方向,畫出拋物線的大致圖象 .
四、理解掌握拋物線與坐標軸交點的求法 .
一般地,點的坐標由橫坐標和縱坐標組成,我們在求拋物線與坐標軸的交點時,可優(yōu)先確定其中一個坐標,再利用解析式求出另一個坐標 . 如果方程無實數(shù)根,則說明拋物線與 x 軸無交點 .
從以上求交點的過程可以看出,求交點的實質(zhì)就是解方程,而且與方程的根的判別式聯(lián)系起來,利用根的判別式判定拋物線與 x 軸的交點個數(shù) .
五、靈活應用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 .
用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是我們求解析式時最常規(guī)有效的方法,求解析式時往往可選擇多種方法,如能綜合利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),靈活應用數(shù)形結合的思想,不僅可以簡化計算,而且對進一步理解二次函數(shù)的本質(zhì)及數(shù)與形的關系大有裨益 .
二次函數(shù)y=ax2
學習要求:
1．知道二次函數(shù)的意義．
2．會用描點法畫出函數(shù)y＝ax2的圖象,知道拋物線的有關概念．
重點難點解析
1.本節(jié)重點是二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)；難點是根據(jù)圖象概括二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì).
2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)都是二次函數(shù).解析式中只能含有兩
個變量x、y,且x的二次項的系數(shù)不能為0,自變量x的取值范圍通常是全體實數(shù),但在實際問題中應使實際量有意義.如圓面積S與圓半徑R的關系式S＝πR2中,半徑R只能取非負數(shù).
3.拋物線y＝ax2的形狀是由a決定的.a的符號決定拋物線的開口方向,當a＞0時,開口向上,拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上),并向上無限延伸；當a＜0時,開口向下,拋物線在x軸下方(頂點在x軸上),并向下無限延伸.｜a｜越大,開口越?。唬黙｜越小,開口越大.
4.畫拋物線y＝ax2時,應先列表,再描點,最后連線.列表選取自變量x值時常以0為中心,選取便于計算、描點的整數(shù)值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢.
本節(jié)命題主要是考查二次函數(shù)的概念,二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)的應用.
核心知識
規(guī)則1
二次函數(shù)的概念:
一般地,如果是常數(shù),那么,y叫做x的二次函數(shù)．
規(guī)則2
拋物線的有關概念:
圖13-14
如圖13-14,函數(shù)y=x2的圖象是一條關于y軸對稱的曲線,這條曲線叫拋物線．實際上,二次函數(shù)的圖象都是拋物線．拋物線y=x2是開口向上的,y軸是這條拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點．
規(guī)則3
拋物線y=ax2的性質(zhì):
一般地,拋物線y=ax2的對稱軸是y軸,頂點是原點,當a＞0時,拋物線y=ax2的開口向上,當a＜0時,拋物線y=ax2的開口向下．
規(guī)則4
1.二次函數(shù)的概念
(1)定義：一般地,如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),那么,y叫做x的的二次函數(shù). (2)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的結構特征是：等號左邊是函數(shù)y,右邊是自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.其中一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可以是任意實數(shù),而二次項系數(shù)a必須是非零實數(shù),即a≠0.
2.二次函數(shù)y＝ax2的圖像
圖13-1
用描點法畫出二次函數(shù)y＝x2的圖像,如圖13-1,它是一條關于y軸對稱的曲線,這樣的曲線叫做拋物線.
因為拋物線y＝x2關于y軸對稱,所以y軸是這條拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點,從圖上看,拋物線y＝x2的頂點是圖象的最低點.因為拋物線y＝x2有最低點.所以函數(shù)y＝x2有最小值,它的最小值就是最低點的縱坐標.
3.二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)
函數(shù)
圖像
開口方向
頂點坐標
對稱軸
函數(shù)變化
最大(小)值
y=ax2
a＞0
向上
(0,0)
Y軸
x＞0時,y隨x增大而增大；
x＜0時,y隨x增大而減小.
當x＝0時,y最小＝0.
y=ax2
a＜0
向下
(0,0)
Y軸
x＞0時,y隨x增大而減??；
x＜0時,y隨x增大而增大.
當x＝0時,y最大＝0.
4.二次函數(shù)y＝ax2的圖像的畫法
用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2的圖像時,應在頂點的左、右兩側(cè)對稱地選取自變量x的值,然后計算出對應的y值,這樣的對應值選取越密集,描出的圖像越準確.
二次函數(shù)y=ax2+bx+c
學習要求：
1．會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象．
2．能利用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點、的位置．
*3．會由已知圖象上三個點的坐標求出二次函數(shù)的解析式．
重點難點
1.本節(jié)重點是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)的理解及靈活運用,難點是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的性質(zhì)和通過配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式.
2.學習本小節(jié)需要仔細觀察歸納圖象的特點以及不同圖象之間的關系.把不同的圖象聯(lián)系起來,找出其共性.
一般地幾個不同的二次函數(shù),如果二次項系數(shù)a相同,那么拋物線的開口方向、開口大小(即形狀)完全相同,只是位置不同.
任意拋物線y＝a(x-h)2+k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過適當?shù)仄揭频玫?具體平移方法如下圖所示：
注意：上述平移的規(guī)律是：“h值正、負,右、左移；k值正、負,上、下移”實際上有關拋物線的平移問題,不能死記硬背平移規(guī)律,只要先將其解析式化為頂點式,然后根據(jù)它們的頂點的位置關系,確定平移方向和平移的距離非常簡便.
圖13-11
例如,要研究拋物線L1∶y＝x2-2x+3與拋物線L2∶y＝x2的位置關系,可將y＝x2-2x+3通過配方變成頂點式y(tǒng)＝(x-1)2+2,求出其頂點M1(1,2),因為L2的頂點為M2(0,0),根據(jù)它們的頂點的位置,容易看出：由L2向右平移1個單位,再向上平移2個單位,即得L1；反之,由L1向左平移1個單位,再向下平移2個單位,即得L2.
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y＝ax2的圖象形狀完全一樣,它們的性質(zhì)也有相似之處.當a＞0時,兩條拋物線的開口都向上,并向上無限延伸,拋物線有最低點,y有最小值,當a＜0時,開口都向下,并向下無限延伸,拋物線有最高點,y有最大值.
3.畫拋物線時一定要先確定開口方向和對稱軸、頂點位置,再利用函數(shù)對稱性列表,這樣描點連線后得到的才是完整的,比較準確的圖象.否則畫出的圖象,往往只是其中一部分.例如畫y＝- (x+1)2-1的圖象.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描點,連線成如圖13-11所示不能反映其全貌的圖象.
正由解析式可知,圖象開口向下,對稱軸是x＝-1,頂點坐標是(-1,-1)
列表：
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描點連線：如圖13-12
圖13-12
4.用配方法將二次函數(shù)y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式,首先要提出二次項系數(shù)a.常犯的錯誤只提第一項,后面漏提.如y＝- x2+6x-21 寫成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符號弄錯,主要原因是沒有掌握添括號的規(guī)則.
本節(jié)命題主要考查二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)及其在實際生活中的運用.既有填空題、選擇題,又有解答題,與方程、幾何、一次函數(shù)的綜合題常作為中考壓軸題.
核心知識
規(guī)則1
拋物線 y=a(x-h)2+k 的性質(zhì):
一般地,拋物線 y=a(x-h)2+k 與 y=ax2 形狀相同,位置不同．拋物線 y=a(x-h)2+k 有如下特點：
(l) a＞0時,開口向上；a＜0時,開口向下；
(2) 對稱軸是直線x＝h；
(3) 頂點坐標是(h,k)．
規(guī)則2
二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的性質(zhì):
y=ax2+bx+c （ a,b,c 是常數(shù),a≠0）是二次函數(shù),圖象是拋物線．利用配方,可以把二次函數(shù)表示成 y=a(x-h)2+k 的形式,由此可以確定這條拋物線的對稱軸是直線 ,頂點坐標是 ,當a＞0時,開口向上；a＜0時,開口向下．
規(guī)則3
1.二次函數(shù)解析式的幾種形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0).
(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).
(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根,a≠0.
說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)＝a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h＝0時,拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時,拋物線y＝ax2的頂點在原點.
(2)當拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應二次方程ax2+bx+c＝0有實數(shù)根x1和
x2存在時,根據(jù)二次三項式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2).
2.二次函數(shù)解析式的確定
確定二次函數(shù)解析式,一般仍用待定系數(shù)法.由于二次函數(shù)解析式有三個待定系數(shù)a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2),因而確定二次函數(shù)解析式需要已知三個獨立的條件.當已知拋物線上任意三個點的坐標時,選用一般式比較方便；當已知拋物線的頂點坐標時,選用頂點式比較方便；當已知拋物線與x軸兩個點的坐標(或橫坐標x1,x2)時,選用兩根式較為方便.
注意：當選用頂點式或兩根式求二次函數(shù)解析式時,最后一般都要化一般式.
3.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.
4.二次函數(shù)的性質(zhì)
根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像可歸納其性質(zhì)如下表：
函數(shù)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)
圖
像
a＞0
a＜0
(1)拋物線開口向上,并向上無限延伸.
(2)對稱軸是x＝- ,頂點坐標是(- , ).
(3)當x＜- 時,y隨x的增大而減小；當x＞- 時,y隨x的增大而增大.
(4)拋物線有最低點,當x＝- 時,y有最小值,y最小值＝ .
(1) )拋物線開口向下,并向下無限延伸.
(2)對稱軸是x＝- ,頂點坐標是(- , ).
(3)當x＜- 時,y隨x的增大而增大；當x＞- 時,y隨x的增大而減小.
(4)拋物線有最高點,當x＝- 時,y有最大值,y最大值＝ .
5.求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法
①配方法：將解析式化為y＝a(x-h)2+k的形式,頂點坐標(h,k),對稱軸為直線x＝h,若a＞0,y有最小值,當x＝h時,y最小值＝k,若a＜0,y有最大值,當x＝h時,y最大值＝k.
②公式法：直接利用頂點坐標公式(- , ),求其頂點；對稱軸是直線x＝- ,若a＞0,y有最小值,當x＝- 時,y最小值＝ ,若a＜0,y有最大值,當x＝- 時,y最大值＝ .
6.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的畫法
因為二次函數(shù)的圖像是拋物線,是軸對稱圖形,所以作圖時常用簡化的描點法和五點法,其步驟是：
(1)先找出頂點坐標,畫出對稱軸；
(2)找出拋物線上關于對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等)；
(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.
7.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的位置與a、b、c及Δ符號有密切的關系(見下表)：
項
目
字
母
字母的符號
圖像的位置
a
a＞0
a＜0
開口向上 開口向下
b
b=0 ab＞0 ab＜0
對稱軸為y軸 對稱軸在y軸左側(cè) 對稱軸在y軸右側(cè)
c
c=0 c＞0 c＜0
經(jīng)過原點 與y軸正半軸相交 與y軸負半軸相交
8.二次函數(shù)與一元二次方程的關系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2,是對應的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
Δ＞0 拋物線與x軸有2個交點；
Δ＝0 拋物線與x軸有1個交點；
Δ＜0 物線與x軸有0個交點(沒有交點).