橢圓C：x^2/4+y^2/3=1.是確定m的取值范圍使橢圓上有兩個不同的點關于直線y=4x+m對稱

數學人氣：332 ℃時間：2019-10-19 07:48:59

優(yōu)質解答

設橢圓上關于直線y=4x+m的兩個對稱點為A(x1,y1)和B(x2,y2),
設AB方程為x+4y+b=0與橢圓方程聯(lián)立得：52y²+24by+3b²-12=0
由韋達定理可知：y1+y2=-24b/52=-6b/13,y1y2=(3b²-12)/52
設AB中點為M,則M點縱坐標(y1+y2)/2=-3b/13,
橫坐標(x1+x2)/2=(-4y1-b-4y2-b)/2=-2(y1+y2)-b=12b/13 -b=-b/13
點M在直線y=4x+m上,所以(y1+y2)/2=4(x1+x2)/2 +m
m=-3b/13 +2b/13=-b/13
同時,要使一元二次方程52y²+24by+3b²-12=0有兩相異實根
需要判別式大于零,△=(24b)²-4*52(3b²-12)>0,解得-2√13