1 (1),所求以F1,F2為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)D的橢圓C的方程為：
x^2/2+y^2=1.
(2),以短軸為直徑的圓O的方程為：x^2+y^2=1.
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（x0,y0）,則直線OM的斜率為：y0/x0,
由題意可知：OM垂直AB,
所以 直線AB的斜率為：-x0/y0.
直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、Q,要使PQ的長(zhǎng)最小,
則直線AB的斜率為：-1或1,即 x0=y0 或 x0=-y0.
代入橢圓C的方程：x^2/2+y^2=1,得：
x0=y0=√6/3,或 x0=y0=-√6/3,
或 x0=√6/3,y0=-√6/3,或 x0=-√6/3,y0=√6/3.
當(dāng)x0=y0=√6/3時(shí),直線AB的方程為：x+y=√6/2.
P、Q的坐標(biāo)為（√6/2,0）,（0,√6/2）.
此時(shí),|PQ|=√3.
同理可知：x0=y0=-√6/3,或 x0=√6/3,y0=-√6/3,
或 x0=-√6/3,y0=√6/3時(shí),|PQ|=√3.
所以 PQ的最小值為：√3.
過M（x0,y0）點(diǎn)的圓O的切線方程為：
(x-x0)^2+(y-y0)^2=x0^2+y0^2-1 ①
圓O的方程為：x^2+y^2=1 ②
①-②,化簡(jiǎn)得：x0x+y0y=1,
即為直線AB的方程.
所以 P、Q的坐標(biāo)為（1/x0,0）,（0,1/y0）,
|PQ|^2=(1/x0)^2+1/y0)^2>=2|1/x0y0|,
當(dāng)且僅當(dāng)|x0|=|y0|時(shí),取等號(hào).
將|x0|=|y0|代入橢圓C的方程：x^2/2+y^2=1,得：
|x0|=|y0|=√6/3,此時(shí)|PQ|^2=3.
所以 PQ的最小值為：√3.
2 (1),所求圓C的方程為：(x-2)^2+(y-2)^2=8.
(2),橢圓x^2/a^2+y^2/9=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10,
則：2a=10,a=5.
所以橢圓方程為：x^2/25+y^2/9=1.
橢圓右焦點(diǎn)F(4,0),|OF|=4.
設(shè)圓C上存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(a,b),(ab不=0)
點(diǎn)Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng).
則：(a-2)^2+(b-2)^2=8 ①,且 (a-4)^2+b^2=16 ②.
①-②,化簡(jiǎn)得：a=b,
代入①,得：a=4 ,b=4 或 a=0,b=0（舍去）
所以存在點(diǎn)Q(4,4),使點(diǎn)Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng).