設(shè)2n+1個(gè)整數(shù)a1到a(2n+1)具有性質(zhì)P；從其中任意去掉一個(gè),剩下的2n個(gè)數(shù)可以分成個(gè)數(shù)相等的兩組,其和相等.證明這2n+1個(gè)整數(shù)全相等.
證明：分三步進(jìn)行,每一步都有“不變量”的想法：
第一步 先證明這2n+1個(gè)數(shù)的奇偶性是相同的
因?yàn)槿我馊サ粢粋€(gè)數(shù)后,剩下的數(shù)可分成兩組,其和相等,故剩下的2n個(gè)數(shù)的和都是偶數(shù),因此,任一個(gè)數(shù)都與這2n+1個(gè)數(shù)的總和具有相同的奇偶性；
第二步 如果a1到a(2n+1)具有性質(zhì)P,則每個(gè)數(shù)都減去整數(shù)C之后,仍具有性質(zhì)P,特別地取C=a1,得0.a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1
也具有性質(zhì)P,由第一步的結(jié)論知,a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1 都是偶數(shù)；
第三步 由0,a2-a1,a3-a1,...a(2n+1)-a1 為偶數(shù)且具有性質(zhì)P,可得0,(a2-a1)/2,(a3-a1)/2,...[a(2n+1)-a1]/2
都是整數(shù),且仍具有性質(zhì)P,再由第一步知,這2n+1個(gè)數(shù)的奇偶性相同,為偶數(shù),所以都除以2后,仍是整數(shù)且具有性質(zhì)P,余此類推,對(duì)任意的正整數(shù) ,均有0,(a2-a1)/2^k,(a3-a1)/2^k,...[a(2n+1)-a1]/2^k
為整數(shù),且具有性質(zhì)P,因k可以任意大,這就推得a2-a1=a3-a1=...=a(2n+1)-a1 =0
即a1=a23=...=a(2n+1) .
得證