有很多證法.
物理方法：費馬原理：光從空間一點傳到另一點是沿著光程為極值（極大值、極小值或恒定值）的路徑傳播的.光程是光在均勻介質中通過路程l與媒介折射率n的乘積nl.從光程恒定即可到處反射光線總是經(jīng)過另一焦點.
數(shù)學方法：
證明橢圓上某點的切線的垂線平分這點的兩條焦半徑所成的角.
對于x^2/a^2+y^2/b^2=1的橢圓上一點P(x0,y0)切線的斜率是(-b^2x0)/(a^2y0)
因此可得某點切線垂線的斜率及兩焦半徑的斜率,再用倒角公式計算夾角可證得命題.
應用有很多,最經(jīng)典的是超聲波碎石,把超聲波源置于橢球面的一個焦點上,讓體內結石位于另一焦點上可碎石.
還有就是放映電影時將燈絲放在一個焦點上,將放膠片的片門放在另一個焦點上,用來放電影.