已知二次函數(shù)y＝aX＾2＋bX＋c的圖象交x軸于
A．B兩點(diǎn),交y軸于C點(diǎn),且△ABC是直角三角形,
請(qǐng)寫(xiě)出符合要求的二次函數(shù)的解析式.
由簡(jiǎn)單作圖不難發(fā)現(xiàn),滿足要求的拋物線與X軸的交點(diǎn)
A和B,必須分置于Y軸的兩側(cè).即方程Y=0的兩個(gè)根必須異號(hào).
設(shè)A(m,0),B(n,0),C(0,C),其中m0,且AC^2+BC^2
=AC^2,即(m^2+c^2)+(n^2+c^2)=(n-m)^2.
即 C^2=-mn,于是c=±√(-mn).(1)
令y=ax^2+bx+c=0,則:
m+n=-b/a.(2)
mn=c/a.(3)
由(1)得mn=-C^2,代入(3)式得-C^2=C/a,
即c(c+1/a)=0,∴c=0(應(yīng)舍去,否則A,B,C三點(diǎn)中有兩點(diǎn)重
合,從而不能構(gòu)成三角形),或a=-1/c=-1/√(-mn)(此時(shí)c=√(-mn))
或a=1/√(-mn)(此時(shí)c=-√(-mn)).
于是b=-a(m+n)=(m+n)/√(-mn)(此時(shí)c=√(-mn))
或b=-a(m+n)=-(m+n)/√(-mn)(此時(shí)c=-√(-mn)).
故得拋物線方程為:
y=[-1/√(-mn)]x^2+[(m+n)/√(-mn)]x+√(-mn)
={[x/√(-m)]+√(-m)}{[-x/√n]+√n}.(4)
或y=[1/√(-mn)]x^2-[(m+n)/√(-mn)]x-√(-mn)
={[x/√(-m)]+√(-m)}[(x/√n)-√n].(5)
例.取m=-2,n=8.則有拋物線:
y=(-1/4)x^2+(3/2)x+4
=(-1/4)(x^2-6x)+4=(-1/4)[(x-3)^2-9]+4
=(-1/4)(x-3)^2+25/4
于是A(-2,0),B(8,0),C(0,4)
AB^2=(8+2)^2=100
AC^2=(-2)^2+4^2=20
BC^2=8^2+4^2=80
AC^2+BC^2=20+80=100=AB^2.
顯然,△ABC是直角三角形,C為直角.
因此只要任選m0,代入(4)或(5)就能得到一個(gè)滿足題目
要求的拋物線方程.