（1）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=0得f（0）=0．
再令x₁=x，x₂=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為R上的奇函數(shù)．
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0．∴f（x₂-x₁）＞0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）為R上的增函數(shù)．
（2）∵f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）
∵f（x）為R上的奇函數(shù)，，即f（-x）=-f（x），∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）
又∵f（x）為R上的增函數(shù)，cos2θ-3＞2mcosθ-4m對(duì)所有的θ∈[0，

π

2

]均成立，2cos²θ-4＞2m（cosθ-2）恒成立，又∵cosθ-2＜0，∴m＞

cos2θ?2

cosθ?2

恒成立，
又∵

cos2θ?2

cosθ?2

＝

cos2θ?4+2

cosθ?2

＝cosθ?2+

2

cosθ?2

+4
又θ∈[0，

π

2

]，∴0≤cosθ≤1，∴cosθ-2＜0，
∴cosθ?2+

2

cosθ?2

+4≤4?4

2

當(dāng)且僅當(dāng)cosθ?2＝

2

cosθ?2

即cosθ＝2?

2

時(shí)取等號(hào)．
∴[

cos2θ?2

cosθ?2

]max＝4?2

2

∴m＞4?2

2