證明：
∵在[a，b]連續(xù)的f（x）不恒為常數(shù)，且f（a）=f（b），
∴至少存在點(diǎn)c∈（a，b），使得：f（c）≠f（a）=f（b），
由題意知：f（x）在[a，c]和[c，b]滿足拉格朗日中值定理，
∴存在點(diǎn)ξ₁∈（a，c）、ξ₂∈（c，b），使得：

f(c)?f(a)

c?a

＝f′(ξ1)，

f(b)?f(c)

b?c

＝f′(ξ2)，
又 f（c）-f（a）和f（b）-f（c）中必有一個(gè)大于0，
∴f′（ξ₁）、f'（ξ₂）中必有一個(gè)大于0，
即：在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得：f′（ξ）＞0，證畢．