化為二重積分來討論：
∫[0->1](x^(p-1)-x^(q-1))dx/lnx
=∫[0->1]dx∫[q->p] x^(y-1) dy
=∫[q->p]dy∫[0->1] x^(y-1) dx
=∫[q->p] (1/y) dy
=ln|p|-ln|q|
故當(dāng)p≠0或q≠0,或者p,q同時(shí)為0時(shí),積分收斂用瑕積分的極限審斂法可以做若lim[x->1] [(x-1)^s]f(x)=L, 如果存在常數(shù)s∈(0,1)以及0<=L<∞使得等式成立，那么原積分收斂。lim[x->1] [(x-1)^s]*(x^(p-1)-x^(q-1))/lnx使用羅比達(dá)法則=lim[x->1] (s-1)(x-1)^(s-1) * (x^p-x^q) + (x-1)^(s) * ((p-1)x^(p-1) - (q-1)x^(q-1))可以看出(x-1)^(s-1)在s∈(0,1)中是無窮項(xiàng)，于是我們只需要討論(x-1)^(s-1) * (x^p-x^q)可以看出當(dāng)p和q其中一個(gè)為0，另外一個(gè)不為0時(shí)(x^p-x^q)≠0，原式發(fā)散；而當(dāng)p,q均為0，或均不為0時(shí)，原式變?yōu)?*∞的未定式：lim[x->1](x^p-x^q)/(x-1)^(1-s)=lim[x->1](px^(p-1)-qx^(q-1))/(1-s)(x-1)^(-s)=lim[x->1] [(1-s)(x-1)^s](px^(p-1)-qx^(q-1))=L得到的值L∈[0,∞),故這時(shí)收斂綜上：當(dāng)p和q其中一個(gè)為0，另外一個(gè)不為0時(shí)，原式發(fā)散其余情況下原式收斂（上面的方法最后一步做錯(cuò)了，實(shí)際上ln|p|-ln|q|的收斂性也是這樣的）x=0的時(shí)候lnx=-∞,1/lnx=0,而分子也等于0，故被積函數(shù)為0不需要討論