（1）對稱軸：直線x=-4 2×1 =-2,
令y=0,則x2+4x+3=0,
解得x1=-1,x2=-3,
所以,A（-3,0）；
（2）存在．
令x=0,則y=3,
所以,點C（0,3）,
∴直線AC的解析式為y=x+3,
∴直線AC與y軸的夾角為45°,
∵CN=OM,
∴四邊形MNCO是等腰梯形或平行四邊形,
當四邊形MNCO是等腰梯形時,直線OM的解析式為y=-x,
聯(lián)立 y＝x2+4x+3 y＝−x ,
消掉y得,x2+5x+3=0,
解得x1=−5+ 132 ,x2=−5− 132 （舍去）,
y=-x=5− 132 ,
此時,點M（−5+ 132 ,5− 132 ）,
當四邊形MNCO是平行四邊形時,直線OM的解析式為y=x,
聯(lián)立 y＝x2+4x+3 y＝x ,
消掉y得,x2+3x+3=0,
△=32-4×1×3=-3＜0,
方程無解,
綜上所述,點M（−5+ 132 ,5− 132 ）；
（3）存在．
由（1）可得點B（-1,0）,
①點P在對稱軸左邊時,點P的橫坐標為-3-1=-4,
點P的縱坐標為y=（-4）2+4×（-4）+3=3
∴P1（-4,3）,
②點P在對稱軸右邊時,點P的橫坐標為-1+1=0,
此時,點P與點C重合,A、F、P、Q四點共線,不能構成平行四邊形,
③AF是對角線時,∵A（-3,0）,B（-1,0）,
∴點D是AF的中點,
∴點P在直線QD上,
即點P在對稱軸上,
∴點P為二次函數(shù)的頂點坐標,
∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1,
∴二次函數(shù)頂點坐標為（-2,-1）,
∴點P2（-2,-1）,
綜上所述,P1（-4,3）,P2（-2,-1）．