反證,假設(shè) lim f(x)不等于0,不妨設(shè) lim f(x)=b ,b>0
由極限的保號(hào)性和有界性可知,存在 X,存在c,0c
f(x)dx= f(x)dx [x從a到X] + f(x)dx [x從X到正無(wú)窮大]
前一部分為定積分,必然收斂,后一部分由積分的幾何意義可知：
f(x)dx [x從X到正無(wú)窮大] > c乘以正無(wú)窮大= 正無(wú)窮,是發(fā)散的,所以原積分由這兩部分相加,必發(fā)散到無(wú)窮大.由此可知 limf(x)=0
假設(shè)c
f(x)dx在[a,+無(wú)窮)上廣義積分收斂,證明limf(x)=0 (x趨于無(wú)窮）
f(x)dx在[a,+無(wú)窮)上廣義積分收斂,證明limf(x)=0 (x趨于無(wú)窮）
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