1.已知△ABC中,E,F分別是AB、AC上的點(diǎn),且∠EBC=∠FCB=1/2∠BAC.求證：BF=CE
E,F應(yīng)該是邊的中點(diǎn)吧
證明：∠EBC=∠FCB=1/2∠BAC =》∠EBC=∠FCB=1/2∠BAC=45度,AB=AC
故AF=AC/2=AB/2=AE
由勾股定理知
BF^2=AF^2+AB^2=AC^2+AE^2=CE^2
得BF=CE 得證
2.已知D為△ABC的邊AC上一點(diǎn),E為BC的延長線上一點(diǎn),DE交AB于點(diǎn)F,且EF/FD=AC/BC,求證：AD=EB.
證明：過E做AC的平行線交BA的延長線于點(diǎn)G
△ABC與△EBG相似=>AC/BC=EG/EB
△ADF與△EFG相似=>EF/FD=EG/AD
因EF/FD=AC/BC,故EG/EB=EG/AD =>AD=EB得證
3.O為△ABC內(nèi)任一點(diǎn),AO延長線交BC于點(diǎn)D,CO延長線交BC與點(diǎn)F,BO延長線交AC于點(diǎn)E,求證：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
證明：過O點(diǎn)作BA的平行線,分別交AC于K,交BC于H
在三角形DBA中,OH平行AB,所以：OD/AD=OH/AB
在三角形EBA中,OK平行AB,所以：OE/BE=OK/AB
在三角形CFA中,OK平行FA,所以：CO/CF=CK/CA
OF/CF=（CF-CO）/CF=1-CO/CF=1-CK/CA
OD/AD+OE/BE+OF/CF=OH/AB+OK/AB+1-CK/CA
=HK/AB+1-CK/CA…………（1）
在三角形ABC中,HK/AB=CK/CA,所以（1）式為：
OD/AD+OE/BE+OF/CF=HK/AB+1-CK/CA=1,獲證.
4.△ABC中,AB＞AC,AT是∠BAC的平分線,在BC上有一點(diǎn)S,是BS=TC,求證：AS2-AT2=（AB-AC）2
證明：記AB=c,AC=b,BC=a.
先證明一個(gè)引理：
在△ABC中,AS平分∠BAC,則AB/AC=BS/CS
證:作SE⊥AB,交AB于E.作SF⊥AC,交AC于F.設(shè)BC邊上的高為h.有：
S△ABS/S△ACS=(BS*h)/(CS*h)
S△ABS/S△ACS=(AB*SE)/(AC*SF)
注意到SE=SF,由以上兩式,立即可得：
AB/AC=BS/CS.
現(xiàn)在回到原題.有BT/TC=c/b,BT+TC=a
于是有：TC=ab/(b+c)=BS,BT=ac/(b+c),c>b,故BT>BS,S在點(diǎn)T左邊
SC=a-BS=ac/(b+c)
過點(diǎn)A做BC垂直線交BC于H,設(shè)AH=h,勾股定理可得HC=(a^2+b^2-c^2)/(2a）
TC-HC=（c-b）[(b+c)^2-a^2]>0,點(diǎn)H在T的右邊
AS2-AT2=h^2+SH^2-h^2-TH^2=(SC-HC)^2-(TC-HC)^2=SC^2-TC^2-2HC(SC-TC)
=[ac/(b+c)]^2-[ab/(b+c)]^2-2[(a^2+b^2-c^2)/(2a）][(ac-ab)/(b+c)]
=a^2(c^2-b^2)/(b+c)^2-(a^2+b^2-c^2)(c^2-b^2)/(b+c)^2
=(c^2-b^2)^2/(b+c)^2=(c-b)^2=（AB-AC）2得證
5.D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的三等分點(diǎn)中靠近B、C、A的一個(gè)分點(diǎn),且AD、BE、CF交成△LMN,求證S△LMN/S△ABC=1/7
證明：M,N,L分別為AD與BE,BE與CF,CF與AD的交點(diǎn)
連DE,有SΔDCE=2/9SΔABC(因?yàn)楦邽锳BC高的1/3,底邊為ABC底邊的2/3)
同理 SΔBDE=1/9SΔABC
又因?yàn)镾ΔABE=6/9SΔABC,故SΔBDE：SΔABE=1：6
過A,D做BE的垂直線交BE于GH,SΔBDE=AG*BE/2,SΔABE=DH*BE/2
故DH:AG=1:6
ΔAGM與ΔDMH相似,所以MD:MA=DH:AG=1:6
同理,NE：NB=1：6
設(shè)SΔBMD=1,
SΔABD:SΔBMD=MD:AD=1:7,SΔABC:SΔABD=BC:BD=3:1
故SΔBMA=6,SΔBDA=7,SΔABC=21
同理SΔBEC=7
所以SΔAME=SΔABC-SΔBMA-SΔBEC=8
所以SΔBMA:SΔAME=BM:ME=3:4
又因NE:EB=1:6
所以MN=MB=3NE,同理AL=ML=3MD
SΔMLN:SΔAME=3:8
=> SΔMLN=3=1/7SΔABC