平行四邊形的判定

教學(xué)目標(biāo)
1．掌握平行四邊形的判定定理及應(yīng)用．
2．會(huì)綜合運(yùn)用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理來(lái)解決問(wèn)題．
3．會(huì)根據(jù)條件來(lái)畫出平行四邊形．
4．培養(yǎng)用類比、逆向聯(lián)想及運(yùn)動(dòng)的思維方法來(lái)研究問(wèn)題．
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)是平行四邊形的判定定理及應(yīng)用；
難點(diǎn)是平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用．
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
一、用類比、逆向思維的方式探索平行四邊形的判定方法
1．復(fù)習(xí)平行四邊形的主要性質(zhì),

角：（c）兩組對(duì)角相等．（性質(zhì)3）（等價(jià)命題：兩組鄰角互補(bǔ)）
對(duì)角線：（d）對(duì)角線互相平分．（性質(zhì)4）
2．逆向思維：怎樣判定一個(gè)四邊形是平行四邊形?
（1）學(xué)生容易由定義得出：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（判定方法一）．也就是說(shuō),定義既是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì),又是它的一個(gè)判定方法．
（2）觀察判定方法一與性質(zhì)1的關(guān)系,尋找逆命題的特征：
①由兩個(gè)獨(dú)立條件和一個(gè)結(jié)論組成；
②兩個(gè)獨(dú)立條件屬于同類條件（即都分別屬于：（a）對(duì)邊的位置關(guān)系,（b）對(duì)邊的數(shù)量關(guān)系,（c）對(duì)角的數(shù)量關(guān)系或（d）對(duì)角線關(guān)系的條件,簡(jiǎn)稱為同類條件）；
③逆命題正確．
（3）類比聯(lián)想,猜想其他性質(zhì)的逆命題也能判定平行四邊形,構(gòu)造逆命題如下：
①兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（猜想1）；
②兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（猜想2）；
③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（猜想3）．
（4）證明猜想,得到平行四邊形的判定定理1,2,3．
教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平行四邊形的定義以及平行線的性質(zhì)、三角形全等的知識(shí)對(duì)以上猜想
進(jìn)行證明．
注意利用新證定理簡(jiǎn)化后來(lái)讀定理的證明過(guò)程及選擇簡(jiǎn)捷方法．
3．進(jìn)一步探求用兩個(gè)獨(dú)立的非同類條件判定平行四邊形的方法．（這部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)意
圖和處理方法詳見(jiàn)設(shè)計(jì)說(shuō)明部分）
（1）教師解釋“兩個(gè)獨(dú)立的非同類條件”的含義,指從平行四邊形四方面的性質(zhì)（a）,（b）,(c）和（d）中各選取一個(gè)條件組合作為判定方法的題設(shè)部分,如一組對(duì)邊平行((a）對(duì)邊的位置關(guān)系）與一組對(duì)邊相等((b）對(duì)邊的數(shù)量關(guān)系）．
（2）根據(jù)學(xué)生實(shí)際,讓學(xué)生利用上述方法得出有關(guān)平行四邊形判定方法的部分常用（或全部）猜想．（教師也可用判斷題的形式讓學(xué)生思考,從而降低難度）
猜想一：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
猜想二：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．
猜想三：一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形．
猜想四：一組對(duì)邊平行且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形．（其他猜想見(jiàn)設(shè)計(jì)說(shuō)明中的補(bǔ)充內(nèi)容）
（3）證明猜想成立或舉例說(shuō)明某猜想不成立．
以上猜想中正確的是猜想一和四,猜想二和三的反例圖形分別見(jiàn)圖
4-21（a）,（b）．
如圖4－21（a）,在四邊形ABCD中, AD //BC,AB＝DC,但四邊形ABCD不是平行四邊形；在圖4-21（b）中, AB＝AC＝DE,∠B=∠C＝∠D,但四邊形 ABED不是平行四邊形．
（4）將正確的命題中作用較大的猜想一作為判定定理4使用,其余的命題讓學(xué)生熟悉結(jié)論和研究方法．
（5）總結(jié).平行四邊形共有五種判定方法,根據(jù)題目條件從中靈活選用方法來(lái)解決問(wèn)題．
二、判定定理的鞏固練習(xí)
1．利用平行四邊形的判定定理及性質(zhì)定理進(jìn)行證明．
例1已知：如圖 4－22,E和F是ABCD對(duì)角錢AC上兩點(diǎn),AE＝CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．

分析：可使用五種判定方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論,其中“添加對(duì)角線構(gòu)造使用判定定理3的條件”的證明方法最為簡(jiǎn)捷．
說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生從條件、結(jié)論兩方面對(duì)題目進(jìn)行再思考．
（1）在此基礎(chǔ)上,還可證出什么結(jié)論?用到什么方法?如還可證BEDF,DEBF, ∠BED=∠BFD等.總結(jié)方法：利用平行四邊形的性質(zhì)——判定——性質(zhì)可解決較復(fù)雜的幾何題目.
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)、類比、特殊化的思維方法,猜想對(duì)此題可作怎樣的推廣?
類比例1條件,利用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),讓E和F在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)到一些特殊位置,猜想還可得出同樣結(jié)論如圖4-23,但其中的猜想無(wú)法證明．
缺圖4-23
猜想一如圖 4-23（a）,在ABCD中, E,F為AC上兩點(diǎn),∠ABE＝∠CDF．求證：四邊形BEDF為平行四邊形．
猜想二如圖4－23（b）,在ABCD中,E,F為AC上兩點(diǎn),BE//DF．求證：四邊形BEDF為平行四邊形．
猜想三如圖 4-23（c）,在ABCD中, E,F為AC上兩點(diǎn), BE＝DF．求證：四邊形 BEDF為平行四邊形．
猜想四如圖4－23（d）,在ABCD中,E,F分別是AC上兩點(diǎn),BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求證:四邊形BEDF為平行四邊形
例2已知：如圖 4－24（a）,在ABCD中,E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn)．求證：EB=DF．
說(shuō)明：
（1）分析證明思路,所要證明的兩條線段恰為四邊形EBFD的一組對(duì)邊,由圖中它們所在的位置來(lái)看,可首先判定四邊形BEDF為平行四邊形,再利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)解決．培養(yǎng)學(xué)生思維的層次：使用已知平行四邊形的性質(zhì)——判定新平行四邊形——使用新平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論．
（2）引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)改變題目的條件、結(jié)論,對(duì)命題加以引伸和推廣．
推廣一（對(duì)結(jié)論引伸）已知：如圖4-42（b）,在ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),
BE交AF于G,EC交DF于H．求證：
（1）四邊形EGFH為平行四邊形；
（2）四邊形EGHD為平行四邊形．
思考：怎樣用運(yùn)動(dòng)、類比及特殊到一般的方法來(lái)改變命題的條件,將命題加以推廣?
推廣二已知：如圖 4-24（c）,在ABCD中,E, F為AD,BC上兩點(diǎn),AE＝CF．求證：EB＝DF．
推廣三已知：如圖4-24（ d）,在ABCD中, E, F為 AD,BC上兩點(diǎn),∠ABE＝∠ CDF．
求證：EB＝ DF．
推廣四已知：如圖4-24（e）,在ABCD中,E,F分別為AD,BC上兩點(diǎn),BE和DF分
別平分∠ABC和∠ADC．求證:EB＝ DF．
推廣五已知：如圖4-24（f）,在ABCD中,E,F分別為AD,BC上兩點(diǎn),AE⊥BC于
E, CF⊥AD于F．求證：BE＝DF．
2．畫出符合條件的平行四邊形．
例 3畫ABCD,使∠B＝45°, AB＝2cm, BC＝3cm．
分析：
（1）畫平行四邊形的關(guān)鍵是先由條件確定平行四邊形中三個(gè)頂點(diǎn)所組成的三角形,例如,此題可根據(jù)“兩鄰邊及一夾角”先確定△ABC．
（2）可根據(jù)平行四邊形的五種判定方法來(lái)確定平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)．但其中根據(jù)判定定理1作圖較為復(fù)雜,一般不常用．
讓學(xué)生畫圖,并寫出畫法．
練習(xí)課本第140頁(yè)第1,2題,第142頁(yè)第1,2,3題．
四、師生共同歸納小結(jié)
1．平行四邊形的判定方法有哪些?應(yīng)從邊、角、對(duì)角線三方面來(lái)進(jìn)行總結(jié),并指出：性質(zhì)定理的逆命題如果正確,常常作為判定定理來(lái)使用．
2．怎樣來(lái)畫符合條件的平行四邊形?
3．學(xué)習(xí)了哪些研究問(wèn)題的思想方法?
五、作業(yè)
課本第144頁(yè)第7～14題,B組1,2,4題．
補(bǔ)充題：
1．如圖 4-25,在ABCD中, AE＝CF, BG＝DH．求證： AH,BE,CG,DF圍成的四邊形
MNPQ為平行四邊形．
2．如圖4-26,在ABCD中,E,F,G和H分別是各邊中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
3．如圖4－27,在ABCD中,AC,BD交于O點(diǎn),AE⊥BD于E,CG⊥BD于G,BH⊥
AC于H,DF⊥AC于F．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成．
1．由平行四邊形的定義及性質(zhì)定理逆向探索它的判定方法,是以后經(jīng)常用到的思考方
法．因此,教師應(yīng)讓學(xué)生明確建立這種意識(shí),并盡量獨(dú)立完成這個(gè)過(guò)程．
2．從分類的角度來(lái)看,用非同類條件判定平行四邊形的猜想,還有以下幾種,教師可根情況選用．
猜想五：一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形．
猜想六：一組對(duì)邊相等,對(duì)角線交點(diǎn)平分其中某一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形
．
猜想七：一組對(duì)角相等,連該對(duì)角的兩頂點(diǎn)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平邊形．
猜想八：一組對(duì)角相等,連該對(duì)角的兩頂點(diǎn)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形．
其中猜想六,八是假命題,猜想五,七是真命題,可由學(xué)生課下加以證明,其中猜想七的證明需要用到圓的知識(shí)．
猜想六,八的反例圖形分別是圖428（a）,（b）．
缺圖4-28
如圖 4－28（a）,AE⊥l,CF⊥l,AE=CF,BE=DF,OE=OF,則四邊形ABCD中,AB=DC,AO=OC,但四邊形ABCD不是平行四邊形.
如圖4-28（b）,菱形ABCD中,E為對(duì)角線AC上一點(diǎn),則四邊形ABED中,∠ABE=∠ADE,BO=OD.但四邊形ABCD不是平行四邊形.
3．課本上的例1,例2的內(nèi)涵很豐富,教師可根據(jù)時(shí)間的安排及學(xué)生的實(shí)際,逐步培養(yǎng)他們用類比、運(yùn)動(dòng)等思維方式推廣命題的能力,以一題多變的方式讓學(xué)生能用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問(wèn)題．