Cauchy不等式的形式化寫法就是：
記兩列數(shù)分別是ai, bi,則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函數(shù)無實(shí)根或只有一個實(shí)根的條件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移項(xiàng)得到結(jié)論.
還可以用向量來證.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2乘以cosX．
因?yàn)閏osX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種方法證,這里只寫出兩種較常用的證法．