二維形式的證明　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　(a,b,c,d∈R)
　　=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
　　=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
　　=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
　　≥(ac+bd)^2,等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立.
三角形式的證明　　√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
　　證明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
　　≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
　　≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
　　=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
　　=(a+c)^2+(b+d)^2
　　兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
　　注：| |表示絕對值.
向量形式的證明　　令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)
　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos
　　∵cos≤1
　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)
　　注：“√”表示平方根.
一般形式的證明　　(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
　　證明：
　　等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+.共n2 /2項
　　等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+.共n2 /2項
　　用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證
　　推廣形式的證明
　　推廣形式為 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)
　　證明如下
　　記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….
　　由平均值不等式得　
　　(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
　　(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
　　……　
　　上述m個不等式疊加得　
　　1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…　
　　即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…　
　　即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　
　　即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　
　　因此,不等式(*)成立.
　　（注：推廣形式即為卡爾松不等式）