計算曲線積分∫L(e^(x^2)sinx+3y-cosy)dx+(xsiny-y^4)dy ,其中L是從點(diǎn)（-π,0）沿曲線y=sinx到點(diǎn)（π,0）的弧段

數(shù)學(xué)人氣：329 ℃時間：2020-04-16 04:07:31

優(yōu)質(zhì)解答

先計算∫L 3ydx＝∫（從－pi到pi)3sinxdx＝6.
再計算∫L(e^(x^2)sinx-cosy)dx+(xsiny-y^4)dy ＝∫L Pdx+Qdy,
注意此時有aQ/ax=aP/ay,因此積分值與路徑無關(guān),
只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),因此可取積分路徑是y＝0,－pi<=x<=pi,
此時dy＝0,∫L Pdx+Qdy＝∫（從－pi到pi）(e^(x^2)sinx－1)dx
e^(x^2)sinx是奇函數(shù),積分值是0.
＝∫（從－pi到pi）－1dx＝－2pi,
因此最后得原積分為6－2pi.