y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．（5分）
（1）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，  

π

8

+kπ](k∈Z)．（8分）
（2）令2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，得x=

π

8

+kπ(k∈Z)，
所以當(dāng)x=

π

8

+kπ(k∈Z)時，ymax=2+

2

．（12分）
（3）由2x+

π

4

=

π

2

+kπ，得x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以該函數(shù)的對稱軸方程為x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)．
由2x+

π

4

=kπ，得x=-

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以，該函數(shù)的對稱中心為：(-

π

8

+

kπ

2

，2)(k∈Z)．（16分）