A,B都是m*n的矩陣,則需證r(A+B)≤r(A)+r(B)
設(shè)A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組
β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.
那么A的每一個(gè)列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)線性表出,
B的每一個(gè)列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)線性表出.
于是A+B的每一個(gè)列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)線性表出.
因此A+B列向量組中極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量個(gè)數(shù),即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)前面不是說(shuō)了嗎，A+B的列向量都可以由a(i1),a(i2),和 ，β(j1),β(j2),...,β(jt)線性表示，那么他的極大無(wú)關(guān)組數(shù)當(dāng)然不大于他們中向量個(gè)數(shù)啊。因?yàn)槿绻鸻(i1),ai2,和bi1,bi2線性相關(guān)的話，那么這時(shí)是取等號(hào)的，如果它們線性無(wú)關(guān)，那么就取小于