設(shè)λ是A(在復(fù)數(shù)域中)的一個(gè)特征值,X是屬于λ的一個(gè)(復(fù))特征向量,即有AX = λX (X ≠ 0).
設(shè)μ是λ的復(fù)共軛,Y是X的復(fù)共軛,由A是實(shí)矩陣,可知AY = μY.
設(shè)X = U+iV,其中U.V均為實(shí)向量,則Y = U-iV.
由B = A+A'正定,可知Y'BX = (U'-iV')B(U+iV) = U'BU+V'BV > 0 (由B對(duì)稱,U'BV = V'BU).
得Y'AX+Y'A'X > 0,即(λ+μ)Y'X > 0,由Y'X = U'U+V'V > 0,即得2Re(λ) = λ+μ > 0.
于是A的實(shí)特征值均為正實(shí)數(shù).
另一方面,A的虛特征值成對(duì),而一對(duì)非零共軛復(fù)數(shù)的乘積大于零.
因此|A| = A的全體特征值乘積 > 0.