方向?qū)?shù)
1.設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于給定的自點(diǎn)P0出發(fā)的射線l,在射線上任取一點(diǎn)P(x0+Δx,y0+Δy),點(diǎn)P0到P的距離記為ρ,如果函數(shù)f沿射線l的改變量與ρ的比值limρ→0的極限存在,把此極限稱為函數(shù)f在點(diǎn)(x0,y0)沿方向l的方向?qū)?shù).記作∂f/∂l|(x0,y0)或∂z/∂l|(x0,y0).
2.三元函數(shù)u=f(x,y,z)的方向?qū)?shù)的定義與二元函數(shù)類似.
定理1.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微,則函數(shù)f在該點(diǎn)處沿任一方向l的方向?qū)?shù)存在,且有∂f/∂l=∂f/∂x*cosα+∂f/∂y*cosβ,其中α,β是方向l的方向角.
定理2.如果函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)處可微,則函數(shù)f在該點(diǎn)處沿任一方向l的方向?qū)?shù)存在,且有∂f/∂l=∂f/∂x*cosα+∂f/∂y*cosβ+∂f/∂z*cosγ,其中α,β,γ是方向l的方向角.
梯度：引入單位向量l°=cosαi+cosβj+cosγk 及 向量G=∂u/∂xi+∂u/∂yj+∂u/∂zk,根據(jù)數(shù)量積的定義,∂u/∂l=G·l°,可見向量G就是函數(shù)f變化率最大的方向向量 ∂u/∂xi+∂u/∂yj+∂u/∂zk,稱為函數(shù)f在點(diǎn)P(x,y,z)處的梯度,記為grad u或∇f.
梯度的模為 |grad u|=[(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2]^0.5
“梯度是單位方向?qū)?shù)”不正確.