在三角形ABC中,AB=AC,P為三角形ABC內一點,且PC大于PB.求證:∠APB大于∠APC.

數學人氣：936 ℃時間：2019-08-17 23:04:16

優(yōu)質解答

證明：
過點A作AD⊥BC,交BC于點D.
易知AD也是中線和角平分線.
下面,我們首先來證明點P位于△ABD內.
過點P作PE⊥BC,交BC于點E,則有
BE²=PB²-PE²
CE²=PC²-PE²
因為PC＞PB
所以CE＞BE
從而點P位于△ABD內
所以有
∠BAP＜∠A/2
∠CAP＞∠A/2
從而
∠CAP＞∠BAP ①
又因為PC＞PB
所以有
∠PBC＞∠PCB
進而有
∠ACP=∠C-∠PCB=∠B-∠PCB＞∠B-∠PBC=∠ABP ②
因為
∠APB=180°-∠BAP-∠ABP
∠APC=180°-∠CAP-∠ACP
所以再由①,②便可得到
∠APB＞∠APC
證完.